Номер 2.16, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.16. Верно ли утверждение: «Если $c \perp a$, $c \perp b$, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$, то $c \perp \alpha$?» Дополните это утверждение так, чтобы оно было верным при любых условиях.

Верно ли утверждение: «Если $c \perp a$, $c \perp b$, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$, то $c \perp \alpha$?»

Нет, данное утверждение не всегда верно. Оно опирается на признак перпендикулярности прямой и плоскости, который гласит, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В условии задачи не сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Если прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то утверждение не выполняется. Рассмотрим контрпример: пусть в плоскости $\alpha$ лежат две параллельные прямые $a$ и $b$. Тогда можно провести прямую $c$ так, что она тоже лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна обеим прямым $a$ и $b$. В этом случае все условия ($c \perp a$, $c \perp b$, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$) выполнены, но прямая $c$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, так как она сама принадлежит этой плоскости.

Ответ: Нет, утверждение не верно.

Дополните это утверждение так, чтобы оно было верным при любых условиях.

Чтобы исходное утверждение стало верным, необходимо добавить недостающее условие из признака перпендикулярности прямой и плоскости, а именно — что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Верное утверждение формулируется так:

«Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости».

Таким образом, дополненное утверждение выглядит следующим образом: «Если $c \perp a$, $c \perp b$, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$ и прямые $a$ и $b$ пересекаются, то $c \perp \alpha$». В символической записи условие пересечения прямых можно записать как $a \cap b \neq \emptyset$.

Ответ: Чтобы утверждение было верным, нужно добавить условие: «и прямые $a$ и $b$ пересекаются».