Номер 2.22, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Периметр равностороннего треугольника $ABC$ равен $2p$, отрезки $AD$ и $BK$ перпендикулярны плоскости этого треугольника. Найдите периметр треугольника $CDK$, если $ABKD$ – квадрат.

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний, и его периметр $P_{ABC}$ равен $2p$. Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то длина каждой стороны вычисляется как периметр, деленный на 3:

$AB = BC = AC = \frac{P_{ABC}}{3} = \frac{2p}{3}$

Также по условию, четырехугольник $ABKD$ — квадрат. Это означает, что все его стороны равны, и их длина равна длине стороны $AB$ треугольника. Следовательно:

$AD = BK = KD = AB = \frac{2p}{3}$

Для наглядности представим геометрическую конфигурацию:

Отрезки $AD$ и $BK$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$. Из этого следует:

1. Отрезок $AD$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $A$. В частности, $AD \perp AC$. Поэтому треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle DAC = 90^\circ$).

2. Отрезок $BK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $B$. В частности, $BK \perp BC$. Поэтому треугольник $BKC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle KBC = 90^\circ$).

Найдем длину стороны $CD$ искомого треугольника $CDK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$CD^2 = AC^2 + AD^2$

Подставим известные значения длин катетов $AC = \frac{2p}{3}$ и $AD = \frac{2p}{3}$:

$CD^2 = (\frac{2p}{3})^2 + (\frac{2p}{3})^2 = 2 \cdot (\frac{2p}{3})^2$

$CD = \sqrt{2 \cdot (\frac{2p}{3})^2} = \frac{2p}{3}\sqrt{2}$

Аналогично найдем длину стороны $KC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. По теореме Пифагора:

$KC^2 = BC^2 + BK^2$

Подставим известные значения длин катетов $BC = \frac{2p}{3}$ и $BK = \frac{2p}{3}$:

$KC^2 = (\frac{2p}{3})^2 + (\frac{2p}{3})^2 = 2 \cdot (\frac{2p}{3})^2$

$KC = \sqrt{2 \cdot (\frac{2p}{3})^2} = \frac{2p}{3}\sqrt{2}$

Теперь мы можем найти периметр треугольника $CDK$, который равен сумме длин его сторон $CD$, $KC$ и $DK$. Мы уже нашли $CD$ и $KC$, а длина $DK$ нам известна из свойства квадрата.

$P_{CDK} = CD + KC + DK$

$P_{CDK} = \frac{2p}{3}\sqrt{2} + \frac{2p}{3}\sqrt{2} + \frac{2p}{3}$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

$P_{CDK} = \frac{2p}{3}( \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1) = \frac{2p}{3}(1 + 2\sqrt{2})$

Ответ: $\frac{2p(1 + 2\sqrt{2})}{3}$