Номер 2.27, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Даны треугольник $ABC$, точки $D$ и $K$, лежащие вне плоскости этого треугольника, такие, что $AD \perp AB$, $KC \perp BC$, $AD \parallel KC$. Докажите, что прямые $AD$ и $KC$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$.

Для доказательства утверждения разобьем его на две части: сначала докажем, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а затем, используя этот факт, докажем, что прямая $KC$ также перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство перпендикулярности $AD \perp (ABC)$

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая считается перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Найдем такие две прямые в плоскости $ABC$.

1. Из условия задачи известно, что $AD \perp AB$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$, так как является стороной треугольника.

2. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$. По условию, $AD \parallel KC$ и $KC \perp BC$. Угол между скрещивающимися прямыми $AD$ и $BC$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Так как $AD \parallel KC$, угол между $AD$ и $BC$ равен углу между $KC$ и $BC$. Поскольку $KC \perp BC$, угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть $AD \perp BC$. Прямая $BC$ также лежит в плоскости $ABC$.

3. Мы получили, что прямая $AD$ перпендикулярна двум прямым в плоскости $ABC$: $AD \perp AB$ и $AD \perp BC$. Эти прямые ($AB$ и $BC$) пересекаются в точке $B$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $ABC$. Таким образом, $AD \perp (ABC)$.

Доказательство перпендикулярности $KC \perp (ABC)$

1. В предыдущем пункте мы доказали, что $AD \perp (ABC)$.

2. По условию задачи, прямая $KC$ параллельна прямой $AD$ ($KC \parallel AD$).

3. Существует теорема: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как $AD \perp (ABC)$ и $KC \parallel AD$, отсюда следует, что $KC \perp (ABC)$.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые $AD$ и $KC$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AD$ и $KC$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$.