Практическая работа, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. Возьмите пустую спичечную коробку. Измерьте длину всех ее ребер. Найдите расстояние между противоположными гранями. Обоснуйте ответ.

2. С помощью твердой бумаги, четырех стержней (палочек) и скотча изготовьте модель, иллюстрирующую теорему о трех перпендикулярах.

1. Спичечный коробок представляет собой геометрическое тело, называемое прямоугольным параллелепипедом. У него есть три измерения: длина, ширина и высота. Обозначим их как $a$, $b$ и $c$.

У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер. Они образуют три группы по четыре равных и параллельных ребра в каждой. Четыре ребра имеют длину $a$, четыре — длину $b$, и четыре — длину $c$.

Возьмем стандартный спичечный коробок и измерим его ребра линейкой. Типичные размеры могут быть такими:

• Длина ($a$) = 50 мм
• Ширина ($b$) = 35 мм
• Высота ($c$) = 15 мм

Таким образом, у коробка есть 4 ребра по 50 мм, 4 ребра по 35 мм и 4 ребра по 15 мм.

Расстояние между противоположными гранями — это длина перпендикуляра, проведенного от одной грани к другой. У параллелепипеда три пары таких граней.

Обоснование:

Противоположные грани в прямоугольном параллелепипеде параллельны. Расстояние между двумя параллельными плоскостями — это длина их общего перпендикуляра.

1. Рассмотрим пару граней, которые являются основаниями (верхнюю и нижнюю). Площадь каждой из них равна $a \times b$. Эти грани параллельны. Ребра высотой $c$ перпендикулярны обеим этим граням. Следовательно, длина этих ребер и есть расстояние между основаниями. Расстояние равно $c$.
2. Для пары передней и задней граней (с площадью $a \times c$) расстояние будет равно ширине $b$, так как ребра длиной $b$ перпендикулярны этим граням.
3. Для пары боковых граней (с площадью $b \times c$) расстояние будет равно длине $a$, так как ребра длиной $a$ перпендикулярны им.

Таким образом, расстояния между противоположными гранями равны трем измерениям спичечного коробка.

Ответ: Длины всех ребер — это 4 ребра по 50 мм, 4 ребра по 35 мм и 4 ребра по 15 мм (или другие значения, полученные в ходе конкретного измерения). Расстояния между тремя парами противоположных граней равны 15 мм, 35 мм и 50 мм. Это следует из того, что коробок является прямоугольным параллелепипедом, и его ребра перпендикулярны соответствующим граням, поэтому длина ребра определяет расстояние между гранями, которым оно перпендикулярно.

2. Для создания модели, иллюстрирующей теорему о трех перпендикулярах, необходимо подготовить лист твердой бумаги или картона, четыре стержня (например, карандаши или деревянные шпажки) и скотч.

Формулировка теоремы: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Пошаговое изготовление модели:

1. Возьмем лист твердой бумаги. Он будет изображать плоскость $α$.
2. Нарисуем на бумаге прямую $m$. Для наглядности можно прикрепить вдоль этой линии первый стержень.
3. Выберем на плоскости $α$ точку $H$, не лежащую на прямой $m$. В этой точке с помощью скотча закрепим второй стержень так, чтобы он был строго перпендикулярен листу бумаги. Этот стержень является перпендикуляром $AH$ к плоскости, где $H$ — его основание на бумаге, а $A$ — его верхний конец.
4. Третий стержень разместим на листе бумаги так, чтобы он соединял точку $H$ с некоторой точкой $M$ на прямой $m$. Этот стержень ($HM$) нужно расположить так, чтобы он был перпендикулярен прямой $m$ (и приклеенному к ней первому стержню). Стержень $HM$ является проекцией наклонной на плоскость $α$.
5. Четвертый стержень соединит точку $A$ (вершину перпендикуляра) и точку $M$ на прямой $m$. Этот стержень изображает наклонную $AM$.

Полученная конструкция наглядно демонстрирует теорему. Мы построили перпендикуляр $AH$ к плоскости $α$ и проекцию $HM$, перпендикулярную прямой $m$ в этой плоскости. Теорема утверждает, что при этих условиях наклонная $AM$ также будет перпендикулярна прямой $m$. В правильности этого утверждения можно убедиться, приложив угольник к стержням, изображающим наклонную $AM$ и прямую $m$ в точке $M$. Угол между ними будет прямым.

Ответ: Модель изготавливается из листа бумаги (плоскость $α$), и четырех стержней. Стержень 1 изображает прямую $m$ в плоскости. Стержень 2 ($AH$) устанавливается перпендикулярно плоскости. Стержень 3 ($HM$) соединяет основание перпендикуляра $H$ с точкой $M$ на прямой $m$ под прямым углом. Стержень 4 ($AM$) является наклонной. Модель иллюстрирует, что если $AH \perp α$ и $HM \perp m$, то $AM \perp m$.