Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. Возьмите пустую спичечную коробку. Измерьте длину всех ее ребер. Найдите расстояние между противоположными гранями. Обоснуйте ответ.

2. С помощью твердой бумаги, четырех стержней (палочек) и скотча изготовьте модель, иллюстрирующую теорему о трех перпендикулярах.

1. Спичечный коробок представляет собой геометрическое тело, называемое прямоугольным параллелепипедом. У него есть три измерения: длина, ширина и высота. Обозначим их как $a$, $b$ и $c$.

У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер. Они образуют три группы по четыре равных и параллельных ребра в каждой. Четыре ребра имеют длину $a$, четыре — длину $b$, и четыре — длину $c$.

Возьмем стандартный спичечный коробок и измерим его ребра линейкой. Типичные размеры могут быть такими:

• Длина ($a$) = 50 мм
• Ширина ($b$) = 35 мм
• Высота ($c$) = 15 мм

Таким образом, у коробка есть 4 ребра по 50 мм, 4 ребра по 35 мм и 4 ребра по 15 мм.

Расстояние между противоположными гранями — это длина перпендикуляра, проведенного от одной грани к другой. У параллелепипеда три пары таких граней.

Обоснование:

Противоположные грани в прямоугольном параллелепипеде параллельны. Расстояние между двумя параллельными плоскостями — это длина их общего перпендикуляра.

1. Рассмотрим пару граней, которые являются основаниями (верхнюю и нижнюю). Площадь каждой из них равна $a \times b$. Эти грани параллельны. Ребра высотой $c$ перпендикулярны обеим этим граням. Следовательно, длина этих ребер и есть расстояние между основаниями. Расстояние равно $c$.
2. Для пары передней и задней граней (с площадью $a \times c$) расстояние будет равно ширине $b$, так как ребра длиной $b$ перпендикулярны этим граням.
3. Для пары боковых граней (с площадью $b \times c$) расстояние будет равно длине $a$, так как ребра длиной $a$ перпендикулярны им.

Таким образом, расстояния между противоположными гранями равны трем измерениям спичечного коробка.

Ответ: Длины всех ребер — это 4 ребра по 50 мм, 4 ребра по 35 мм и 4 ребра по 15 мм (или другие значения, полученные в ходе конкретного измерения). Расстояния между тремя парами противоположных граней равны 15 мм, 35 мм и 50 мм. Это следует из того, что коробок является прямоугольным параллелепипедом, и его ребра перпендикулярны соответствующим граням, поэтому длина ребра определяет расстояние между гранями, которым оно перпендикулярно.

2. Для создания модели, иллюстрирующей теорему о трех перпендикулярах, необходимо подготовить лист твердой бумаги или картона, четыре стержня (например, карандаши или деревянные шпажки) и скотч.

Формулировка теоремы: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Пошаговое изготовление модели:

1. Возьмем лист твердой бумаги. Он будет изображать плоскость $α$.
2. Нарисуем на бумаге прямую $m$. Для наглядности можно прикрепить вдоль этой линии первый стержень.
3. Выберем на плоскости $α$ точку $H$, не лежащую на прямой $m$. В этой точке с помощью скотча закрепим второй стержень так, чтобы он был строго перпендикулярен листу бумаги. Этот стержень является перпендикуляром $AH$ к плоскости, где $H$ — его основание на бумаге, а $A$ — его верхний конец.
4. Третий стержень разместим на листе бумаги так, чтобы он соединял точку $H$ с некоторой точкой $M$ на прямой $m$. Этот стержень ($HM$) нужно расположить так, чтобы он был перпендикулярен прямой $m$ (и приклеенному к ней первому стержню). Стержень $HM$ является проекцией наклонной на плоскость $α$.
5. Четвертый стержень соединит точку $A$ (вершину перпендикуляра) и точку $M$ на прямой $m$. Этот стержень изображает наклонную $AM$.

Полученная конструкция наглядно демонстрирует теорему. Мы построили перпендикуляр $AH$ к плоскости $α$ и проекцию $HM$, перпендикулярную прямой $m$ в этой плоскости. Теорема утверждает, что при этих условиях наклонная $AM$ также будет перпендикулярна прямой $m$. В правильности этого утверждения можно убедиться, приложив угольник к стержням, изображающим наклонную $AM$ и прямую $m$ в точке $M$. Угол между ними будет прямым.

Ответ: Модель изготавливается из листа бумаги (плоскость $α$), и четырех стержней. Стержень 1 изображает прямую $m$ в плоскости. Стержень 2 ($AH$) устанавливается перпендикулярно плоскости. Стержень 3 ($HM$) соединяет основание перпендикуляра $H$ с точкой $M$ на прямой $m$ под прямым углом. Стержень 4 ($AM$) является наклонной. Модель иллюстрирует, что если $AH \perp α$ и $HM \perp m$, то $AM \perp m$.

2.31. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и $O = AC \cap BD$, $AB = 8$ см.

1) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $B_1D_1$.

2) Найдите длину наклонных $A_1B$ и $A_1C$.

3) Покажите, что $A_1O \perp BD$, и найдите длину $A_1O$.

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = AB = 8$ см. Точка $O$ — центр нижнего основания $ABCD$, то есть точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

1) Найдите расстояние между прямыми AC и B₁D₁.

Прямые $AC$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$, а прямая $B_1D_1$ — в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Так как это куб, плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между основаниями куба равно длине его бокового ребра, например $AA_1$. По условию, длина ребра куба $AB = 8$ см, следовательно, $AA_1 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

2) Найдите длину наклонных A₁B и A₁C.

Для нахождения длины наклонной $A_1B$ рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90^\circ$, так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат). По теореме Пифагора:

$A_1B^2 = A_1A^2 + AB^2$

$A_1B^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$

$A_1B = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения длины наклонной $A_1C$ (которая является пространственной диагональю куба), рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$. Ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\angle A_1AC = 90^\circ$. Сначала найдем длину диагонали основания $AC$. Из прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ABC = 90^\circ$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 128$

$AC = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $A_1AC$:

$A_1C^2 = A_1A^2 + AC^2 = 8^2 + (8\sqrt{2})^2 = 64 + 128 = 192$

$A_1C = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: $A_1B = 8\sqrt{2}$ см, $A_1C = 8\sqrt{3}$ см.

3) Покажите, что A₁O ⊥ BD, и найдите длину A₁O.

Докажем перпендикулярность, используя теорему о трех перпендикулярах. Ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, поэтому $A_1A$ — это перпендикуляр к плоскости. $A_1O$ — наклонная к этой плоскости, а $AO$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$. Диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Так как точка $O$ лежит на $AC$, то и $AO \perp BD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AO$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($BD$), то и сама наклонная ($A_1O$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $A_1O \perp BD$, что и требовалось доказать.

Для нахождения длины $A_1O$ рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AO$ ($\angle A_1AO = 90^\circ$, так как $A_1A \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:

$A_1O^2 = A_1A^2 + AO^2$

Длина $A_1A = 8$ см. Длина $AO$ равна половине диагонали $AC$. Из пункта 2) мы знаем, что $AC = 8\sqrt{2}$ см. Тогда:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Подставим значения в формулу:

$A_1O^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2 = 64 + 16 \cdot 2 = 64 + 32 = 96$

$A_1O = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: Перпендикулярность $A_1O \perp BD$ доказана по теореме о трех перпендикулярах; $A_1O = 4\sqrt{6}$ см.

2.32. Найдите расстояние от плоскости $\alpha$ до середины отрезка, один конец которого расположен в плоскости $\alpha$, а второй – на расстоянии 4 см от этой плоскости.

Пусть дан отрезок `AB`, середина которого — точка `M`. Пусть также дана плоскость `\alpha`.

По условию задачи, один конец отрезка, например точка `A`, расположен в плоскости `\alpha`. Расстояние от точки до плоскости, в которой она лежит, равно нулю. Обозначим расстояние от точки `A` до плоскости `\alpha` как $h_A$. Таким образом, $h_A = 0$ см.

Второй конец отрезка, точка `B`, находится на расстоянии 4 см от плоскости `\alpha`. Обозначим это расстояние как $h_B$. Таким образом, $h_B = 4$ см.

Требуется найти расстояние от середины отрезка, точки `M`, до плоскости `\alpha`. Обозначим это расстояние как $h_M$.

Расстояние от середины отрезка до плоскости равно среднему арифметическому расстояний от его концов до этой же плоскости. Это можно доказать, рассмотрев проекции точек `A`, `B`, `M` на плоскость `\alpha`. Пусть `A'`, `B'`, `M'` — ортогональные проекции точек `A`, `B`, `M` на плоскость `\alpha`. Тогда отрезки `AA'`, `BB'`, `MM'` перпендикулярны плоскости `\alpha` и, следовательно, параллельны друг другу. Фигура `A'B'BA` (в общем случае) является трапецией, а отрезок `MM'` — её средней линией. Так как точка `A` лежит в плоскости `\alpha`, её проекция `A'` совпадает с `A`, и длина `AA'` равна 0. В этом случае трапеция вырождается в треугольник `\triangle AB'B`, а `MM'` является его средней линией.

Для наглядности представим ситуацию на рисунке:

Формула для нахождения расстояния от середины отрезка до плоскости выглядит так:

$h_M = \frac{h_A + h_B}{2}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$h_M = \frac{0 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$

Таким образом, расстояние от плоскости `\alpha` до середины отрезка составляет 2 см.

Ответ: 2 см.

2.33. Концы отрезка расположены от плоскости $\alpha$ на расстоянии 3 см и 7 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости $\alpha$, если отрезок и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.

Пусть данный отрезок — это $AB$, а плоскость — $α$. Пусть $A$ и $B$ — концы отрезка. Расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $α$ — это длины перпендикуляров, опущенных из этих точек на плоскость. Обозначим эти расстояния как $h_A$ и $h_B$. По условию задачи, $h_A = 3$ см и $h_B = 7$ см.

Так как отрезок и плоскость не имеют общих точек, оба конца отрезка, $A$ и $B$, находятся по одну сторону от плоскости $α$.

Спроектируем точки $A$ и $B$ на плоскость $α$. Получим точки $A'$ и $B'$ соответственно. Отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны плоскости $α$, а значит, параллельны друг другу. Фигура $AA'B'B$ представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями $AA'$ и $BB'$ и боковыми сторонами $AB$ и $A'B'$.

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Требуется найти расстояние от точки $M$ до плоскости $α$. Пусть $M'$ — проекция точки $M$ на плоскость $α$. Искомое расстояние равно длине отрезка $MM'$.

Отрезок $MM'$ соединяет середину боковой стороны $AB$ (точку $M$) и середину боковой стороны $A'B'$ (точку $M'$ по свойству параллельного проектирования) трапеции $AA'B'B$. Следовательно, $MM'$ является средней линией этой трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.

Пусть $h_M$ — искомое расстояние от середины отрезка до плоскости. Тогда:$h_M = \frac{h_A + h_B}{2}$

Подставляем числовые значения:$h_M = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2.34. Расстояния от концов отрезка $AB$ до плоскости равны соответственно:

1) 1 см и 5 см;

2) 3,1 мм и 6,9 мм;

3) 3,2 м и 7,4 м;

4) $a$ и $b$.

Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости $\alpha$, если отрезок $AB$ не пересекается с плоскостью $\alpha$ (рис. 2.23).

Рис. 2.23

Пусть $AC$ и $BD$ — перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. По условию, отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$, значит, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от плоскости. Длины перпендикуляров $AC$ и $BD$ являются заданными расстояниями от концов отрезка до плоскости.

Так как $AC \perp \alpha$ и $BD \perp \alpha$, то прямые $AC$ и $BD$ параллельны друг другу ($AC \parallel BD$). Четырехугольник $ACDB$ является прямоугольной трапецией с основаниями $AC$ и $BD$.

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра $ME$, опущенного из точки $M$ на эту плоскость.

Отрезок $ME$ является средней линией трапеции $ACDB$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Таким образом, искомое расстояние можно вычислить по формуле:

$ME = \frac{AC + BD}{2}$

Теперь решим задачу для каждого случая.

1) Даны расстояния 1 см и 5 см.

$ME = \frac{1 \text{ см} + 5 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Ответ: 3 см.

2) Даны расстояния 3,1 мм и 6,9 мм.

$ME = \frac{3,1 \text{ мм} + 6,9 \text{ мм}}{2} = \frac{10 \text{ мм}}{2} = 5 \text{ мм}$

Ответ: 5 мм.

3) Даны расстояния 3,2 м и 7,4 м.

$ME = \frac{3,2 \text{ м} + 7,4 \text{ м}}{2} = \frac{10,6 \text{ м}}{2} = 5,3 \text{ м}$

Ответ: 5,3 м.

4) Даны расстояния $a$ и $b$.

$ME = \frac{a + b}{2}$

Ответ: $\frac{a+b}{2}$.

2.35. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонная $AC$. Найдите:

1) проекцию $BC$, если $AB = 4 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$;

2) $AC$ и $BC$, если $AB = 2,5 \text{ м}$, $\angle ACB = 30^\circ$;

3) $AB$, если $AC = 13 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$.

Поскольку AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к плоскости α, а AC — наклонная, то отрезок BC, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, является проекцией наклонной AC на плоскость α. Перпендикуляр AB, наклонная AC и ее проекция BC образуют прямоугольный треугольник ABC, в котором угол ∠ABC = 90°. В этом треугольнике AB и BC — катеты, а AC — гипотенуза. Для решения задачи будем использовать теорему Пифагора и тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

1) Дано: перпендикуляр $AB = 4$ см, наклонная $AC = 5$ см. Требуется найти проекцию $BC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Выразим из формулы искомый катет $BC$: $BC^2 = AC^2 - AB^2$.
Подставляем известные значения: $BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
Следовательно, $BC = \sqrt{9} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

2) Дано: перпендикуляр $AB = 2,5$ м, угол $\angle ACB = 30°$. Требуется найти наклонную $AC$ и проекцию $BC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ используем тригонометрические функции.
Синус угла в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC}$.
$\sin(30°) = \frac{2.5}{AC}$. Поскольку $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{2} = \frac{2.5}{AC}$, откуда $AC = 2.5 \times 2 = 5$ м.
Тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC}$.
$\tan(30°) = \frac{2.5}{BC}$. Поскольку $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2.5}{BC}$, откуда $BC = 2.5\sqrt{3}$ м.
Ответ: $AC = 5$ м, $BC = 2.5\sqrt{3}$ м.

3) Дано: наклонная $AC = 13$ см, ее проекция $BC = 12$ см. Требуется найти перпендикуляр $AB$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Выразим из формулы искомый катет $AB$: $AB^2 = AC^2 - BC^2$.
Подставляем известные значения: $AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.
Следовательно, $AB = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

2.36. Даны плоскости $\alpha$ и $\beta$, $\alpha \parallel \beta$. Из точки $A \in \alpha$ проведены к плоскости $\beta$ перпендикуляр $AB$ и наклонная $AC$. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если $AC = 10$ см, $BC = 6$ см.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Из точки $A$, принадлежащей плоскости $\alpha$, к плоскости $\beta$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонная $AC$. Длина наклонной $AC = 10$ см, а длина ее проекции на плоскость $\beta$, то есть отрезка $BC$, равна $6$ см. Требуется найти расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую. В нашем случае таким перпендикуляром является отрезок $AB$. Следовательно, задача сводится к нахождению длины отрезка $AB$.

Рассмотрим отрезки $AB$, $AC$ и $BC$.

$AB$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$.

$AC$ — наклонная к плоскости $\beta$.

$BC$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\beta$.

По определению перпендикуляра к плоскости, отрезок $AB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через его основание — точку $B$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $B$, следовательно, $AB \perp BC$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AB$ и $BC$ — катетами.

Для нахождения длины катета $AB$ воспользуемся теоремой Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Выразим из формулы квадрат искомого катета $AB$:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

Подставим известные значения длин гипотенузы $AC$ и катета $BC$:

$AB^2 = 10^2 - 6^2$

$AB^2 = 100 - 36$

$AB^2 = 64$

Теперь найдем длину $AB$, извлекая квадратный корень:

$AB = \sqrt{64} = 8$ см.

Поскольку длина перпендикуляра $AB$ и есть расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то искомое расстояние равно 8 см.

Ответ: 8 см.