Номер 2.31, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.31. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и $O = AC \cap BD$, $AB = 8$ см.

1) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $B_1D_1$.

2) Найдите длину наклонных $A_1B$ и $A_1C$.

3) Покажите, что $A_1O \perp BD$, и найдите длину $A_1O$.

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = AB = 8$ см. Точка $O$ — центр нижнего основания $ABCD$, то есть точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

1) Найдите расстояние между прямыми AC и B₁D₁.

Прямые $AC$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$, а прямая $B_1D_1$ — в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Так как это куб, плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между основаниями куба равно длине его бокового ребра, например $AA_1$. По условию, длина ребра куба $AB = 8$ см, следовательно, $AA_1 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

2) Найдите длину наклонных A₁B и A₁C.

Для нахождения длины наклонной $A_1B$ рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$ (угол $\angle A_1AB = 90^\circ$, так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат). По теореме Пифагора:

$A_1B^2 = A_1A^2 + AB^2$

$A_1B^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$

$A_1B = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения длины наклонной $A_1C$ (которая является пространственной диагональю куба), рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$. Ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\angle A_1AC = 90^\circ$. Сначала найдем длину диагонали основания $AC$. Из прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ABC = 90^\circ$):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 128$

$AC = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $A_1AC$:

$A_1C^2 = A_1A^2 + AC^2 = 8^2 + (8\sqrt{2})^2 = 64 + 128 = 192$

$A_1C = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: $A_1B = 8\sqrt{2}$ см, $A_1C = 8\sqrt{3}$ см.

3) Покажите, что A₁O ⊥ BD, и найдите длину A₁O.

Докажем перпендикулярность, используя теорему о трех перпендикулярах. Ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, поэтому $A_1A$ — это перпендикуляр к плоскости. $A_1O$ — наклонная к этой плоскости, а $AO$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$. Диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Так как точка $O$ лежит на $AC$, то и $AO \perp BD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AO$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($BD$), то и сама наклонная ($A_1O$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $A_1O \perp BD$, что и требовалось доказать.

Для нахождения длины $A_1O$ рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AO$ ($\angle A_1AO = 90^\circ$, так как $A_1A \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:

$A_1O^2 = A_1A^2 + AO^2$

Длина $A_1A = 8$ см. Длина $AO$ равна половине диагонали $AC$. Из пункта 2) мы знаем, что $AC = 8\sqrt{2}$ см. Тогда:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Подставим значения в формулу:

$A_1O^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2 = 64 + 16 \cdot 2 = 64 + 32 = 96$

$A_1O = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: Перпендикулярность $A_1O \perp BD$ доказана по теореме о трех перпендикулярах; $A_1O = 4\sqrt{6}$ см.