Номер 2.30, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Точки пространства A, B, C и D таковы, что $AB = AC = AD = BC = BD = CD = a$. Точки P и Q являются серединами отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что $PQ \perp AB$ и $PQ \perp CD$, и найдите длину $PQ$.

Докажите, что $PQ \perp AB$ и $PQ \perp CD$

По условию, в пространстве даны точки $A$, $B$, $C$, $D$ такие, что все шесть отрезков, соединяющих их попарно, равны $a$: $AB = AC = AD = BC = BD = CD = a$. Это означает, что тело $ABCD$ является правильным тетраэдром, а все его четыре грани ($ABC, ABD, ACD, BCD$) — равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Сначала докажем, что $PQ \perp CD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является равносторонним. Точка $Q$ — середина стороны $CD$, следовательно, отрезок $AQ$ является медианой этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является ее высотой. Отсюда следует, что $AQ \perp CD$.

Аналогично рассмотрим равносторонний треугольник $BCD$. Отрезок $BQ$ является в нем медианой (так как $Q$ — середина $CD$), а значит, и высотой. Следовательно, $BQ \perp CD$.

Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AQ$ и $BQ$. Эти прямые лежат в плоскости $ABQ$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $ABQ$.

Отрезок $PQ$ полностью лежит в плоскости $ABQ$, поскольку его концы $P$ (как середина $AB$) и $Q$ принадлежат этой плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $CD \perp PQ$.

Теперь докажем, что $PQ \perp AB$.

Доказательство полностью аналогично предыдущему.

В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $CP$, являющийся медианой к стороне $AB$ (поскольку $P$ — ее середина), является также и высотой. Значит, $CP \perp AB$.

Точно так же в равностороннем треугольнике $ABD$ медиана $DP$ является и высотой, то есть $DP \perp AB$.

Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CP$ и $DP$, которые образуют плоскость $CDP$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $CDP$.

Отрезок $PQ$ лежит в плоскости $CDP$, так как его концы $P$ и $Q$ (как середина $CD$) принадлежат этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $AB$ перпендикулярна отрезку $PQ$.

Ответ: перпендикулярность отрезков $PQ \perp AB$ и $PQ \perp CD$ доказана.

Найдите длину PQ

Для нахождения длины отрезка $PQ$ рассмотрим треугольник $ABQ$.

Как мы установили ранее, $AQ$ является высотой в равностороннем треугольнике $ACD$ со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$, где $s$ — длина стороны. Таким образом, $AQ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, $BQ$ является высотой в равностороннем треугольнике $BCD$, поэтому $BQ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $AQ = BQ$, треугольник $ABQ$ является равнобедренным с основанием $AB = a$.

В этом треугольнике отрезок $PQ$ соединяет вершину $Q$ с серединой $P$ основания $AB$, то есть является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $PQ \perp AB$, что и было доказано ранее.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $APQ$ с прямым углом при вершине $P$. Катет $AP$ равен половине основания $AB$, то есть $AP = \frac{a}{2}$. Гипотенуза $AQ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Применим теорему Пифагора для нахождения катета $PQ$:

$PQ^2 = AQ^2 - AP^2$

$PQ^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$PQ = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: длина отрезка $PQ$ равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.