Страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Даны треугольник $ABC$, точки $D$ и $K$, лежащие вне плоскости этого треугольника, такие, что $AD \perp AB$, $KC \perp BC$, $AD \parallel KC$. Докажите, что прямые $AD$ и $KC$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$.

Для доказательства утверждения разобьем его на две части: сначала докажем, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а затем, используя этот факт, докажем, что прямая $KC$ также перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство перпендикулярности $AD \perp (ABC)$

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая считается перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Найдем такие две прямые в плоскости $ABC$.

1. Из условия задачи известно, что $AD \perp AB$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$, так как является стороной треугольника.

2. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$. По условию, $AD \parallel KC$ и $KC \perp BC$. Угол между скрещивающимися прямыми $AD$ и $BC$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Так как $AD \parallel KC$, угол между $AD$ и $BC$ равен углу между $KC$ и $BC$. Поскольку $KC \perp BC$, угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть $AD \perp BC$. Прямая $BC$ также лежит в плоскости $ABC$.

3. Мы получили, что прямая $AD$ перпендикулярна двум прямым в плоскости $ABC$: $AD \perp AB$ и $AD \perp BC$. Эти прямые ($AB$ и $BC$) пересекаются в точке $B$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $ABC$. Таким образом, $AD \perp (ABC)$.

Доказательство перпендикулярности $KC \perp (ABC)$

1. В предыдущем пункте мы доказали, что $AD \perp (ABC)$.

2. По условию задачи, прямая $KC$ параллельна прямой $AD$ ($KC \parallel AD$).

3. Существует теорема: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как $AD \perp (ABC)$ и $KC \parallel AD$, отсюда следует, что $KC \perp (ABC)$.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые $AD$ и $KC$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AD$ и $KC$ перпендикулярны плоскости треугольника $ABC$.

2.28. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом, основанным на свойствах параллельных плоскостей и определении перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$) и прямая $a$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а плоскость $\beta$ в точке $B$. Необходимо доказать, что прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Доказательство:

1. Согласно определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что $a \perp \beta$, нам нужно показать, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через точку пересечения $B$.

2. Выберем в плоскости $\beta$ произвольную прямую $b$, проходящую через точку $B$.

3. Через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ можно провести единственную плоскость. Назовем ее $\gamma$.

4. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ (поскольку содержит прямую $a$, которая пересекает $\alpha$). Линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$ будет некоторая прямая $c$. Так как точка $A$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\gamma$ (поскольку $A$ лежит на прямой $a$), то точка $A$ лежит на прямой $c$.

5. По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость ($\gamma$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$), то линии их пересечения ($c$ и $b$) параллельны. Таким образом, $c \parallel b$.

6. По условию, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Это означает, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. В частности, прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$, так как $c$ лежит в $\alpha$. Следовательно, $a \perp c$.

7. Теперь у нас есть следующие факты: $a \perp c$ и $c \parallel b$. Согласно теореме (лемме) о том, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй, мы можем заключить, что $a \perp b$.

8. Поскольку прямая $b$ была выбрана в плоскости $\beta$ произвольно, это означает, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через точку $B$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, это означает, что $a \perp \beta$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

2.29. Даны прямые $a$, $b$ и плоскость $\alpha$ такие, что $a \perp b$, $a \perp \alpha$, $b \not\subset \alpha$. Докажите, что $b \parallel \alpha$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного или прямым доказательством с использованием вспомогательных построений. Прямое доказательство в данном случае более наглядно.

Доказательство

1. Через произвольную точку $M$ на прямой $b$ проведем прямую $c$ так, что $c \parallel a$.

2. Согласно условию, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Так как мы построили прямую $c$ параллельно $a$, то по теореме о связи параллельности прямых и их перпендикулярности к плоскости, прямая $c$ также будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. То есть, $c \perp \alpha$.

3. По условию, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны ($a \perp b$). Так как $c \parallel a$, то прямая $c$ также перпендикулярна прямой $b$. То есть, $c \perp b$.

4. Прямые $b$ и $c$ пересекаются в точке $M$ (они не могут быть параллельными или скрещивающимися, так как обе проходят через точку $M$ и при этом перпендикулярны) и, следовательно, задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

5. Плоскость $\beta$ содержит прямую $c$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Обозначим их линию пересечения как прямую $d$. Таким образом, $d = \alpha \cap \beta$.

6. Так как прямая $c \perp \alpha$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $d$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$), то $c \perp d$.

7. Теперь рассмотрим прямые $b$, $c$ и $d$, лежащие в одной плоскости $\beta$. Мы установили, что $c \perp b$ и $c \perp d$. По теореме из планиметрии, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой. Отсюда следует, что $b \parallel d$.

8. В итоге мы получили, что прямая $b$ параллельна прямой $d$, которая лежит в плоскости $\alpha$. По условию задачи, прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

9. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, $b \parallel \alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$, доказано.

2.30. Точки пространства A, B, C и D таковы, что $AB = AC = AD = BC = BD = CD = a$. Точки P и Q являются серединами отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что $PQ \perp AB$ и $PQ \perp CD$, и найдите длину $PQ$.

Докажите, что $PQ \perp AB$ и $PQ \perp CD$

По условию, в пространстве даны точки $A$, $B$, $C$, $D$ такие, что все шесть отрезков, соединяющих их попарно, равны $a$: $AB = AC = AD = BC = BD = CD = a$. Это означает, что тело $ABCD$ является правильным тетраэдром, а все его четыре грани ($ABC, ABD, ACD, BCD$) — равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Сначала докажем, что $PQ \perp CD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является равносторонним. Точка $Q$ — середина стороны $CD$, следовательно, отрезок $AQ$ является медианой этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является ее высотой. Отсюда следует, что $AQ \perp CD$.

Аналогично рассмотрим равносторонний треугольник $BCD$. Отрезок $BQ$ является в нем медианой (так как $Q$ — середина $CD$), а значит, и высотой. Следовательно, $BQ \perp CD$.

Таким образом, прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AQ$ и $BQ$. Эти прямые лежат в плоскости $ABQ$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $ABQ$.

Отрезок $PQ$ полностью лежит в плоскости $ABQ$, поскольку его концы $P$ (как середина $AB$) и $Q$ принадлежат этой плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $CD \perp PQ$.

Теперь докажем, что $PQ \perp AB$.

Доказательство полностью аналогично предыдущему.

В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $CP$, являющийся медианой к стороне $AB$ (поскольку $P$ — ее середина), является также и высотой. Значит, $CP \perp AB$.

Точно так же в равностороннем треугольнике $ABD$ медиана $DP$ является и высотой, то есть $DP \perp AB$.

Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CP$ и $DP$, которые образуют плоскость $CDP$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $CDP$.

Отрезок $PQ$ лежит в плоскости $CDP$, так как его концы $P$ и $Q$ (как середина $CD$) принадлежат этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $AB$ перпендикулярна отрезку $PQ$.

Ответ: перпендикулярность отрезков $PQ \perp AB$ и $PQ \perp CD$ доказана.

Найдите длину PQ

Для нахождения длины отрезка $PQ$ рассмотрим треугольник $ABQ$.

Как мы установили ранее, $AQ$ является высотой в равностороннем треугольнике $ACD$ со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$, где $s$ — длина стороны. Таким образом, $AQ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, $BQ$ является высотой в равностороннем треугольнике $BCD$, поэтому $BQ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $AQ = BQ$, треугольник $ABQ$ является равнобедренным с основанием $AB = a$.

В этом треугольнике отрезок $PQ$ соединяет вершину $Q$ с серединой $P$ основания $AB$, то есть является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $PQ \perp AB$, что и было доказано ранее.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $APQ$ с прямым углом при вершине $P$. Катет $AP$ равен половине основания $AB$, то есть $AP = \frac{a}{2}$. Гипотенуза $AQ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Применим теорему Пифагора для нахождения катета $PQ$:

$PQ^2 = AQ^2 - AP^2$

$PQ^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$PQ = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: длина отрезка $PQ$ равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.