Страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. На примере классной комнаты покажите взаимное расположение прямой и перпендикулярной ей плоскости.

2. С помощью карандаша и поверхности стола покажите взаимное расположение прямой, перпендикулярной данной плоскости.

3. Постройте плоскость $\alpha$ и прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) так, чтобы $BC \subset \alpha$ и $AC \perp \alpha$.

1. На примере классной комнаты покажите взаимное расположение прямой и перпендикулярной ей плоскости.

В качестве примера прямой и перпендикулярной ей плоскости в классной комнате можно рассмотреть следующее:

• Плоскость: плоскость пола.

• Прямая: линия пересечения двух смежных стен (вертикальный угол комнаты).

Эта прямая (угол) перпендикулярна плоскости пола. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В нашем случае линия угла комнаты перпендикулярна двум линиям плинтуса, которые лежат в плоскости пола и пересекаются в этом углу. Следовательно, линия угла перпендикулярна всей плоскости пола.

Ответ: Прямая, образованная пересечением двух стен, перпендикулярна плоскости пола.

2. С помощью карандаша и поверхности стола покажите взаимное расположение прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Для демонстрации взаимного расположения прямой и перпендикулярной ей плоскости выполним следующие действия:

• Возьмем поверхность стола в качестве модели плоскости.

• Возьмем карандаш в качестве модели прямой.

Чтобы показать их перпендикулярное расположение, нужно поставить карандаш вертикально на поверхность стола, оперев его на кончик грифеля. В таком положении ось карандаша будет образовывать прямой угол ($90^\circ$) с любой прямой, проведенной на поверхности стола через точку касания. Это и есть наглядная модель прямой, перпендикулярной плоскости.

Ответ: Поверхность стола представляет собой плоскость, а вертикально поставленный на нее карандаш — перпендикулярную ей прямую.

3. Постройте плоскость α и прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°) так, чтобы BC ⊂ α и AC ⊥ α.

Для выполнения построения необходимо следовать условиям задачи:

1. $BC \subset \alpha$ означает, что катет $BC$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. $AC \perp \alpha$ означает, что катет $AC$ перпендикулярен плоскости $\alpha$.

3. Из второго условия следует, что прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $C$. Так как $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $C$, то $AC \perp BC$. Это означает, что угол $\angle C$ действительно равен $90^\circ$, что соответствует условию о прямоугольном треугольнике.

Построение выглядит следующим образом:

1. Изображаем плоскость $\alpha$ в виде параллелограмма.

2. Внутри плоскости $\alpha$ строим отрезок $BC$.

3. Из точки $C$ восстанавливаем перпендикуляр к плоскости $\alpha$ — отрезок $AC$.

4. Соединяем точки $A$ и $B$, получая гипотенузу $AB$.

В результате получаем искомый прямоугольный треугольник $ABC$, расположенный в пространстве согласно заданным условиям.

Ответ: Построение показано на рисунке выше.

2.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Покажите все прямые, являющиеся ребрами куба, перпендикулярными прямой $AA_1$;

2) Покажите все плоскости, являющиеся гранями куба, перпендикулярными прямой $AB$;

3) Какие прямые, проходящие через вершины куба, перпендикулярны плоскости $AA_1C_1C$?

Для решения задачи рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В кубе все грани являются квадратами, а ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны.

1) Покажите все прямые, являющиеся ребрами куба, перпендикулярными прямой AA₁.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром куба. Она перпендикулярна плоскостям оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этих плоскостях и проходящей через точки $A$ или $A_1$ соответственно.

В плоскости нижнего основания $ABCD$ из вершины $A$ выходят два ребра: $AB$ и $AD$. Так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$.

В плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ из вершины $A_1$ выходят два ребра: $A_1B_1$ и $A_1D_1$. Так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$, то $AA_1 \perp A_1B_1$ и $AA_1 \perp A_1D_1$.

Таким образом, четыре ребра куба перпендикулярны прямой $AA_1$.

Ответ: $AB, AD, A_1B_1, A_1D_1$.

2) Покажите все плоскости, являющиеся гранями куба, перпендикулярными прямой AB.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Прямая $AB$ является ребром куба.

Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$, так как грань $ABCD$ — квадрат ($AB \perp AD$). Также ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AA_1$, так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат ($AB \perp AA_1$). Прямые $AD$ и $AA_1$ лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$ и пересекаются в точке $A$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $ADD_1A_1$.

Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, так как грань $ABCD$ — квадрат ($AB \perp BC$). Также ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит и прямой $AB$, лежащей в этой плоскости ($AB \perp BB_1$). Прямые $BC$ и $BB_1$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$ и пересекаются в точке $B$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$.

Другие грани либо содержат прямую $AB$ ($ABCD$ и $ABB_1A_1$), либо параллельны ей ($A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$), поэтому не могут быть ей перпендикулярны.

Ответ: $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$.

3) Какие прямые, проходящие через вершины куба, перпендикулярны плоскости AA₁C₁C?

Плоскость $AA_1C_1C$ является диагональным сечением куба. Чтобы прямая была перпендикулярна этой плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Возьмем в качестве таких прямых диагональ основания $AC$ и боковое ребро $AA_1$.

Рассмотрим прямую $BD$, которая является диагональю основания $ABCD$. В квадрате диагонали перпендикулярны, следовательно, $BD \perp AC$.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$. Так как прямая $BD$ лежит в этой плоскости, то $AA_1 \perp BD$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна и самой плоскости $AA_1C_1C$. Прямая $BD$ проходит через вершины $B$ и $D$.

Аналогично рассмотрим прямую $B_1D_1$, которая является диагональю верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. В квадрате $A_1B_1C_1D_1$ диагонали перпендикулярны, следовательно, $B_1D_1 \perp A_1C_1$. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $AA_1C_1C$.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Так как прямая $B_1D_1$ лежит в этой плоскости, то $AA_1 \perp B_1D_1$.

Поскольку прямая $B_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна этой плоскости. Прямая $B_1D_1$ проходит через вершины $B_1$ и $D_1$.

Других прямых, проходящих через вершины куба и перпендикулярных данной плоскости, нет.

Ответ: $BD$ и $B_1D_1$.

2.2. Даны взаимно перпендикулярные прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Сколько прямых можно провести из данной точки плоскости $\alpha$ так, чтобы они были перпендикулярны прямой $a$ и лежали в плоскости $\alpha$?

Для решения этой задачи воспользуемся определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Дано:
1. Прямая $a$ и плоскость $\alpha$.
2. Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, что записывается как $a \perp \alpha$.
3. В плоскости $\alpha$ задана точка $M$ ($M \in \alpha$).

Найти:
Количество прямых, которые одновременно удовлетворяют трем условиям:
1. Проходят через точку $M$.
2. Лежат в плоскости $\alpha$.
3. Перпендикулярны прямой $a$.

Решение:
По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим любую прямую $l$, которая проходит через данную точку $M$ и лежит в плоскости $\alpha$. Так как по условию $l \subset \alpha$ и $a \perp \alpha$, то из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $a$ перпендикулярна прямой $l$ ($a \perp l$).

Это означает, что любая прямая, проведенная через точку $M$ в плоскости $\alpha$, автоматически будет перпендикулярна прямой $a$.

Таким образом, задача сводится к вопросу: сколько различных прямых можно провести через точку $M$, лежащую в плоскости $\alpha$, так, чтобы эти прямые также лежали в плоскости $\alpha$?

Согласно одной из основных аксиом геометрии, через любую точку плоскости можно провести бесконечное множество прямых, лежащих в этой плоскости.

Следовательно, существует бесконечно много прямых, которые проходят через данную точку $M$ плоскости $\alpha$, лежат в этой плоскости и перпендикулярны прямой $a$.

Ответ: Можно провести бесконечно много таких прямых.

2.3. Отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ попарно перпендикулярны между собой. Найдите угол $ABC$, если $AO = BO = CO$.

По условию задачи даны три отрезка $AO$, $BO$ и $CO$, которые попарно перпендикулярны, то есть $AO \perp BO$, $BO \perp CO$ и $AO \perp CO$. Также дано, что их длины равны: $AO = BO = CO$. Обозначим эту длину переменной $a$.

Рассмотрим три треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle AOC$. Так как отрезки, образующие эти треугольники, выходят из одной точки $O$ и попарно перпендикулярны, то углы при вершине $O$ в этих треугольниках прямые: $\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC = 90^\circ$.

Таким образом, все три треугольника являются прямоугольными. Кроме того, поскольку катеты в каждом треугольнике равны ($AO=BO=a$, $BO=CO=a$, $AO=CO=a$), они также являются равнобедренными.

Мы можем найти длины сторон треугольника $\triangle ABC$, которые являются гипотенузами в треугольниках $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle AOC$, используя теорему Пифагора.

1. Для $\triangle AOB$: катеты $AO = a$ и $BO = a$. Гипотенуза $AB$ вычисляется как: $AB^2 = AO^2 + BO^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $AB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

2. Для $\triangle BOC$: катеты $BO = a$ и $CO = a$. Гипотенуза $BC$ вычисляется как: $BC^2 = BO^2 + CO^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $BC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

3. Для $\triangle AOC$: катеты $AO = a$ и $CO = a$. Гипотенуза $AC$ вычисляется как: $AC^2 = AO^2 + CO^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Мы видим, что все стороны треугольника $\triangle ABC$ равны между собой: $AB = BC = AC = a\sqrt{2}$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы также равны и составляют $60^\circ$.

Следовательно, искомый угол $\angle ABC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

2.4. Найдите высоту дерева, если:

1) $a=3$ м, $\alpha=60^\circ$;

2) $a=5,7$ м, $\alpha=45^\circ$;

3) $a=8$ м, $\alpha=30^\circ$ (рис. 2.13).

Рис. 2.13

На рисунке изображена схема, которую можно представить в виде прямоугольного треугольника. Обозначим искомую высоту дерева (вертикальный катет) как $h$. Горизонтальный катет — это заданное расстояние $a$, а $\alpha$ — угол при основании, противолежащий катету $h$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{a}$

Из этой формулы выразим высоту дерева $h$:

$h = a \cdot \tan(\alpha)$

Теперь, используя эту формулу, решим задачу для каждого из трех случаев.

1)

Даны значения: $a = 3$ м, $\alpha = 60^{\circ}$.

Подставим эти значения в нашу формулу:

$h = 3 \cdot \tan(60^{\circ})$

Мы знаем, что тангенс $60^{\circ}$ является табличным значением: $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.

Следовательно, высота дерева равна:

$h = 3\sqrt{3}$ м.

При необходимости можно вычислить приближенное значение: $h \approx 3 \cdot 1.732 = 5.196$ м.

Ответ: $h = 3\sqrt{3}$ м.

2)

Даны значения: $a = 5,7$ м, $\alpha = 45^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$h = 5,7 \cdot \tan(45^{\circ})$

Тангенс $45^{\circ}$ также является табличным значением: $\tan(45^{\circ}) = 1$.

Следовательно, высота дерева равна:

$h = 5,7 \cdot 1 = 5,7$ м.

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как один из острых углов равен $45^{\circ}$, а значит и второй острый угол тоже равен $45^{\circ}$. Поэтому катеты $h$ и $a$ равны.

Ответ: $h = 5,7$ м.

3)

Даны значения: $a = 8$ м, $\alpha = 30^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$h = 8 \cdot \tan(30^{\circ})$

Тангенс $30^{\circ}$ — это табличное значение: $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, высота дерева равна:

$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ м.

Приближенное значение высоты: $h \approx \frac{8 \cdot 1.732}{3} \approx 4.619$ м.

Ответ: $h = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ м.

2.5. Отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ попарно перпендикулярны между собой. Найдите

$AB$, $AC$ и $BC$, если:

1) $AO=4$ см, $BO=3$ см, $CO=3$ см;

2) $AO=5$ см, $BO=12$ см, $CO=16$ см.

Поскольку отрезки AO, BO и CO попарно перпендикулярны, это означает, что $AO \perp BO$, $AO \perp CO$ и $BO \perp CO$. Эти отрезки можно рассматривать как ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины O. Таким образом, у нас образуются три прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$, у которых прямой угол находится в общей вершине O. Отрезки AB, AC и BC являются гипотенузами этих треугольников.

Для нахождения длин гипотенуз AB, AC и BC воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

1) Дано: $AO = 4$ см, $BO = 3$ см, $CO = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ катеты $AO = 4$ см и $BO = 3$ см. Найдем гипотенузу AB:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ катеты $AO = 4$ см и $CO = 3$ см. Найдем гипотенузу AC:

$AC = \sqrt{AO^2 + CO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$ катеты $BO = 3$ см и $CO = 3$ см. Найдем гипотенузу BC:

$BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $AB = 5$ см, $AC = 5$ см, $BC = 3\sqrt{2}$ см.

2) Дано: $AO = 5$ см, $BO = 12$ см, $CO = 16$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ катеты $AO = 5$ см и $BO = 12$ см. Найдем гипотенузу AB:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ катеты $AO = 5$ см и $CO = 16$ см. Найдем гипотенузу AC:

$AC = \sqrt{AO^2 + CO^2} = \sqrt{5^2 + 16^2} = \sqrt{25 + 256} = \sqrt{281}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$ катеты $BO = 12$ см и $CO = 16$ см. Найдем гипотенузу BC:

$BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: $AB = 13$ см, $AC = \sqrt{281}$ см, $BC = 20$ см.