Номер 2.1, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Покажите все прямые, являющиеся ребрами куба, перпендикулярными прямой $AA_1$;

2) Покажите все плоскости, являющиеся гранями куба, перпендикулярными прямой $AB$;

3) Какие прямые, проходящие через вершины куба, перпендикулярны плоскости $AA_1C_1C$?

Для решения задачи рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В кубе все грани являются квадратами, а ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны.

1) Покажите все прямые, являющиеся ребрами куба, перпендикулярными прямой AA₁.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром куба. Она перпендикулярна плоскостям оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этих плоскостях и проходящей через точки $A$ или $A_1$ соответственно.

В плоскости нижнего основания $ABCD$ из вершины $A$ выходят два ребра: $AB$ и $AD$. Так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$.

В плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ из вершины $A_1$ выходят два ребра: $A_1B_1$ и $A_1D_1$. Так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$, то $AA_1 \perp A_1B_1$ и $AA_1 \perp A_1D_1$.

Таким образом, четыре ребра куба перпендикулярны прямой $AA_1$.

Ответ: $AB, AD, A_1B_1, A_1D_1$.

2) Покажите все плоскости, являющиеся гранями куба, перпендикулярными прямой AB.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Прямая $AB$ является ребром куба.

Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$, так как грань $ABCD$ — квадрат ($AB \perp AD$). Также ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AA_1$, так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат ($AB \perp AA_1$). Прямые $AD$ и $AA_1$ лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$ и пересекаются в точке $A$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $ADD_1A_1$.

Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. Ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$, так как грань $ABCD$ — квадрат ($AB \perp BC$). Также ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит и прямой $AB$, лежащей в этой плоскости ($AB \perp BB_1$). Прямые $BC$ и $BB_1$ лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$ и пересекаются в точке $B$. Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$.

Другие грани либо содержат прямую $AB$ ($ABCD$ и $ABB_1A_1$), либо параллельны ей ($A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$), поэтому не могут быть ей перпендикулярны.

Ответ: $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$.

3) Какие прямые, проходящие через вершины куба, перпендикулярны плоскости AA₁C₁C?

Плоскость $AA_1C_1C$ является диагональным сечением куба. Чтобы прямая была перпендикулярна этой плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Возьмем в качестве таких прямых диагональ основания $AC$ и боковое ребро $AA_1$.

Рассмотрим прямую $BD$, которая является диагональю основания $ABCD$. В квадрате диагонали перпендикулярны, следовательно, $BD \perp AC$.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$. Так как прямая $BD$ лежит в этой плоскости, то $AA_1 \perp BD$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна и самой плоскости $AA_1C_1C$. Прямая $BD$ проходит через вершины $B$ и $D$.

Аналогично рассмотрим прямую $B_1D_1$, которая является диагональю верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. В квадрате $A_1B_1C_1D_1$ диагонали перпендикулярны, следовательно, $B_1D_1 \perp A_1C_1$. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $AA_1C_1C$.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Так как прямая $B_1D_1$ лежит в этой плоскости, то $AA_1 \perp B_1D_1$.

Поскольку прямая $B_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1C_1$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, она перпендикулярна этой плоскости. Прямая $B_1D_1$ проходит через вершины $B_1$ и $D_1$.

Других прямых, проходящих через вершины куба и перпендикулярных данной плоскости, нет.

Ответ: $BD$ и $B_1D_1$.