Докажите самостоятельно, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Используя рис. 2.12, докажите что $m \perp \alpha$ и эта прямая единственная.

Рис. 2.12

Задача состоит из двух частей: доказательство перпендикулярности прямой $m$ плоскости $\alpha$ и доказательство единственности такой прямой. Решим обе части последовательно, используя данные из рисунка и основные теоремы стереометрии.

Доказательство того, что $m \perp \alpha$

Для доказательства воспользуемся теоремой о перпендикулярности прямой и плоскости, которая гласит: «Если прямая, лежащая в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости».

Исходя из изображения, мы имеем следующие условия:

1. Есть две плоскости $\alpha$ и $\alpha_1$. Будем считать, что по условию задачи или контексту они взаимно перпендикулярны: $\alpha \perp \alpha_1$.
2. Плоскости пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую как $a$. Таким образом, $a = \alpha \cap \alpha_1$.
3. Точка $A$ лежит на линии пересечения $a$.
4. Прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha_1$ ($m \subset \alpha_1$) и проходит через точку $A$.
5. Из рисунка видно (обозначено символом прямого угла), что прямая $m$ перпендикулярна линии пересечения $a$ в точке $A$: $m \perp a$.

Требуется доказать, что $m \perp \alpha$.

Доказательство:

1. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
2. Мы уже знаем, что $m \perp a$, и прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
3. Построим в плоскости $\alpha$ прямую $b$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $a$. Такое построение всегда возможно в плоскости.
4. Так как плоскости $\alpha$ и $\alpha_1$ взаимно перпендикулярны, то двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Линейный угол этого двугранного угла образован двумя лучами, исходящими из одной точки на линии пересечения $a$ и перпендикулярными ей. В нашем случае это угол между прямыми $m$ и $b$, так как $m \subset \alpha_1$, $b \subset \alpha$, и обе они перпендикулярны $a$ в точке $A$.
5. Следовательно, угол между прямыми $m$ и $b$ равен $90^\circ$, то есть $m \perp b$.
6. Таким образом, мы показали, что прямая $m$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $A$ прямым $a$ и $b$, которые лежат в плоскости $\alpha$.
7. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, из этого следует, что прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение $m \perp \alpha$ доказано.

Доказательство единственности этой прямой

Доказательство проведем методом от противного. На рисунке для этой цели изображена вторая прямая $m_1$.

1. Предположим, что через точку $A$ можно провести еще одну прямую $m_1$, отличную от $m$ ($m_1 \neq m$), которая также перпендикулярна плоскости $\alpha$.
2. Таким образом, мы имеем две различные прямые $m$ и $m_1$, проходящие через одну и ту же точку $A$, и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$.
3. Две пересекающиеся прямые ($m$ и $m_1$) определяют единственную плоскость. Назовем ее $\beta$. Обе прямые $m$ и $m_1$ лежат в этой плоскости $\beta$.
4. Пусть плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой $c$. Так как точка $A$ принадлежит обеим плоскостям ($\beta$ и $\alpha$), она должна лежать на их линии пересечения $c$.
5. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она должна быть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.
6. Поскольку $m \perp \alpha$ и $c \subset \alpha$, то $m \perp c$.
7. Аналогично, поскольку $m_1 \perp \alpha$ и $c \subset \alpha$, то $m_1 \perp c$.
8. Получаем, что в плоскости $\beta$ через точку $A$ на прямой $c$ проходят две различные прямые $m$ и $m_1$, которые перпендикулярны этой прямой $c$.
9. Это противоречит аксиоме планиметрии, согласно которой в плоскости через данную точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной.
10. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании второй прямой $m_1$, перпендикулярной плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $A$, было неверным.

Ответ: Прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости, единственна.