Номер 1.68, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. Прямые $a$, $b$, $c$ и $d$, проходящие через точку $O$, пересекают плоскость $\alpha$ в точках, которые являются вершинами параллелограмма. Докажите, что эти прямые пересекают любую другую плоскость, параллельную $\alpha$, в вершинах некоторого параллелограмма.

Пусть прямые $a, b, c, d$ проходят через точку $O$ и пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A, B, C, D$ соответственно. По условию, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Пусть $\beta$ — любая другая плоскость, параллельная плоскости $\alpha$. Прямые $a, b, c, d$ пересекают плоскость $\beta$ в точках $A', B', C', D'$ соответственно. Нам необходимо доказать, что четырехугольник $A'B'C'D'$ также является параллелограммом.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем точку $O$ в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда положение любой точки $X$ в пространстве определяется ее радиус-вектором $\vec{OX}$.

Известно, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда середины его диагоналей совпадают. Для четырехугольника $ABCD$ это условие в векторной форме записывается как:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$

Это равенство следует из того, что радиус-вектор середины отрезка $AC$ равен $\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$, а радиус-вектор середины отрезка $BD$ равен $\frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$. Равенство радиус-векторов означает совпадение точек.

Рассмотрим геометрическую конфигурацию:

Точки $O, A, A'$ лежат на одной прямой $a$. Это означает, что векторы $\vec{OA'}$ и $\vec{OA}$ коллинеарны. Следовательно, существует действительное число $k_A$ такое, что $\vec{OA'} = k_A \vec{OA}$. Аналогичные соотношения существуют и для других пар точек: $\vec{OB'} = k_B \vec{OB}$, $\vec{OC'} = k_C \vec{OC}$ и $\vec{OD'} = k_D \vec{OD}$.

Докажем, что все коэффициенты $k_A, k_B, k_C, k_D$ равны. Рассмотрим две любые прямые, проходящие через $O$, например $a$ и $b$. Они образуют плоскость, которая пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым $AB$ и $A'B'$. В плоскости $OAB$ треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$ подобны (угол при вершине $O$ у них общий, а углы $\angle OAB$ и $\angle OA'B'$ равны как соответственные при параллельных прямых $AB$, $A'B'$ и секущей $OA$). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}$. Это означает, что $k_A = k_B$. Проведя аналогичные рассуждения для других пар прямых, мы заключаем, что $k_A = k_B = k_C = k_D = k$. Коэффициент $k$ зависит только от расположения параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ относительно центра $O$.

Таким образом, преобразование, переводящее точки $A, B, C, D$ в точки $A', B', C', D'$, является центральной гомотетией с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$. Мы можем записать:

$\vec{OA'} = k \vec{OA}$

$\vec{OB'} = k \vec{OB}$

$\vec{OC'} = k \vec{OC}$

$\vec{OD'} = k \vec{OD}$

Теперь проверим, выполняется ли условие параллелограмма для четырехугольника $A'B'C'D'$. Найдем сумму векторов, соответствующих его диагоналям:

$\vec{OA'} + \vec{OC'} = k \vec{OA} + k \vec{OC} = k(\vec{OA} + \vec{OC})$

$\vec{OB'} + \vec{OD'} = k \vec{OB} + k \vec{OD} = k(\vec{OB} + \vec{OD})$

Поскольку для параллелограмма $ABCD$ выполняется равенство $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$, то, умножив обе части на $k$, получим $k(\vec{OA} + \vec{OC}) = k(\vec{OB} + \vec{OD})$.

Отсюда следует, что $\vec{OA'} + \vec{OC'} = \vec{OB'} + \vec{OD'}$.

Это векторное равенство означает, что середины диагоналей $A'C'$ и $B'D'$ четырехугольника $A'B'C'D'$ совпадают. Следовательно, четырехугольник $A'B'C'D'$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Данные прямые пересекают любую другую плоскость, параллельную $\alpha$, в вершинах некоторого параллелограмма.