Номер 1.63, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.63. Через точку O, лежащую между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, проведены прямые $a$ и $b$: $a \cap \alpha = A, a \cap \beta = C, b \cap \alpha = B, b \cap \beta = D$ и $AO : AC = 1 : 3$. Найдите:

1) OD, если BO = 4 см;

2) AC, если OC = 6 см.

Пересекающиеся в точке $O$ прямые $a$ и $b$ задают единственную плоскость, назовем ее $\gamma$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $AB$ и $CD$ соответственно. По свойству параллельных плоскостей, прямые их пересечения третьей плоскостью параллельны. Следовательно, $AB \parallel CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, лежащие в плоскости $\gamma$. В этих треугольниках:
1. $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.
2. $\angle OAB = \angle OCD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ подобны по двум углам ($\triangle AOB \sim \triangle COD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} = \frac{AB}{CD} = k$, где $k$ - коэффициент подобия.

По условию дано отношение $AO : AC = 1 : 3$, то есть $\frac{AO}{AC} = \frac{1}{3}$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$ (поскольку она находится между плоскостями), то $AC = AO + OC$. Подставив это в соотношение, получим:
$\frac{AO}{AO + OC} = \frac{1}{3}$
$3 \cdot AO = AO + OC$
$2 \cdot AO = OC$
Отсюда находим коэффициент подобия: $k = \frac{AO}{CO} = \frac{1}{2}$.

1) Найдем $OD$, если $BO = 4$ см.
Из соотношения подобия $\frac{BO}{DO} = \frac{1}{2}$.
Подставим известное значение $BO$:
$\frac{4}{DO} = \frac{1}{2}$
$DO = 4 \cdot 2 = 8$ см.
Ответ: $OD = 8$ см.

2) Найдем $AC$, если $OC = 6$ см.
Из ранее найденного соотношения $2 \cdot AO = OC$ выразим $AO$:
$2 \cdot AO = 6$
$AO = 3$ см.
Длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AO$ и $OC$:
$AC = AO + OC = 3 + 6 = 9$ см.
Ответ: $AC = 9$ см.