Номер 1.60, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.60. Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$, в которой каждый из них делится пополам. Покажите, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. В нашем случае, мы покажем, что пересекающиеся прямые $AB$ и $AC$ плоскости $(ABC)$ параллельны соответственно прямым $A_1B_1$ и $A_1C_1$ плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Доказательство параллельности прямых $AB$ и $A_1B_1$

Рассмотрим четырехугольник $ABA_1B_1$. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются его диагоналями. По условию задачи, они пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, то есть $AO = OA_1$ и $BO = OB_1$. Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Таким образом, $ABA_1B_1$ — это параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel A_1B_1$.

Доказательство параллельности прямых $AC$ и $A_1C_1$

Рассмотрим четырехугольник $ACA_1C_1$. Его диагонали — это отрезки $AA_1$ и $CC_1$. По условию, они также пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO = OA_1$ и $CO = OC_1$). По тому же признаку, что и в предыдущем пункте, $ACA_1C_1$ является параллелограммом. Следовательно, его противоположные стороны $AC$ и $A_1C_1$ параллельны: $AC \parallel A_1C_1$.

Вывод

Мы установили, что:
1. Прямые $AB$ и $AC$ лежат в плоскости $(ABC)$ и пересекаются в точке $A$.
2. Прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ лежат в плоскости $(A_1B_1C_1)$.
3. $AB \parallel A_1B_1$ и $AC \parallel A_1C_1$.
Таким образом, выполнены все условия признака параллельности плоскостей. Следовательно, плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскости $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны.