Номер 1.62, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.62. Дано: прямая $a$ и плоскость $\alpha$, $a \parallel \alpha$. Как построить плоскость, проходящую через прямую $a$ параллельно плоскости $\alpha$?

Для построения плоскости, проходящей через прямую $a$ и параллельной плоскости $\alpha$, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Признак гласит: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.Искомая плоскость, назовем ее $\beta$, должна содержать прямую $a$. Чтобы однозначно задать плоскость $\beta$, нам нужна еще одна прямая, пересекающая прямую $a$. Эту вторую прямую мы построим так, чтобы она была параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$.

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$.
2. В плоскости $\alpha$ выберем произвольную прямую $b$. (Для общего случая следует убедиться, что прямая $b$ не параллельна прямой $a$).
3. Через точку $M$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $b$ (то есть $c \parallel b$).
4. Прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$ и задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как $\beta$. Эта плоскость и будет искомой.

Докажем, что построенная плоскость $\beta$ удовлетворяет условиям задачи:

1. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$. Это следует непосредственно из построения, так как прямая $a$ является одной из двух прямых, определяющих плоскость $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$.
2. Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$.
   • В плоскости $\beta$ лежат две пересекающиеся прямые: $a$ и $c$ ($a \cap c = \{M\}$).
   • Прямая $c$ по построению параллельна прямой $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($c \parallel b, b \subset \alpha$).
   • Прямая $a$ по условию задачи параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, что в плоскости $\alpha$ существует прямая $a'$, параллельная прямой $a$ ($a' \subset \alpha, a' \parallel a$).
   • Прямые $a'$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Если предположить, что мы выбрали $b$ не параллельно $a$, то $b$ не будет параллельна и $a'$. Следовательно, прямые $a'$ и $b$ пересекаются.
   • Таким образом, мы имеем две пересекающиеся прямые ($a, c$) в плоскости $\beta$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($a', b$) в плоскости $\alpha$.
   • По признаку параллельности двух плоскостей, отсюда следует, что $\beta \parallel \alpha$.

Таким образом, построенная плоскость $\beta$ является искомой. Стоит отметить, что такая плоскость единственна.

Ответ: Чтобы построить плоскость, проходящую через прямую $a$ параллельно плоскости $\alpha$ (при условии, что $a \parallel \alpha$), нужно выбрать на прямой $a$ произвольную точку $M$, затем в плоскости $\alpha$ выбрать произвольную прямую $b$ и через точку $M$ провести прямую $c$, параллельную прямой $b$. Плоскость, определяемая пересекающимися прямыми $a$ и $c$, и будет искомой плоскостью.