Номер 1.55, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. На рис. 1.36 $PQ \neq MN$, $\alpha \parallel \beta$. Верно ли, что $PQ \parallel MN$? Почему?

Рис. 1.36

Нет, утверждение о том, что $PQ \parallel MN$, неверно.

Почему?
Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что отрезки $PQ$ и $MN$ параллельны, то есть $PQ \parallel MN$.
Если две прямые параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. В этой плоскости будут лежать все четыре точки: $P, Q, M, N$.
По условию, точки $P$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $PM$, проходящая через эти точки, также лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, точки $Q$ и $N$ принадлежат плоскости $\beta$, значит, прямая $QN$ лежит в плоскости $\beta$.
Поскольку точки $P, M$ лежат в $\gamma$ и в $\alpha$, то прямая $PM$ является линией пересечения этих плоскостей. Точно так же прямая $QN$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$.
В задаче дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. В нашем случае это означает, что $PM \parallel QN$.
Теперь рассмотрим четырехугольник $PQNM$, который целиком лежит в плоскости $\gamma$. Мы получили, что у него противолежащие стороны попарно параллельны: $PQ \parallel MN$ (согласно нашему предположению) и $PM \parallel QN$ (согласно доказанному следствию). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
Одним из главных свойств параллелограмма является равенство длин его противолежащих сторон. Отсюда следует, что должно выполняться равенство $PQ = MN$.
Однако это заключение вступает в прямое противоречие с условием задачи, где сказано, что $PQ \ne MN$.
Так как наше первоначальное предположение привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, отрезки $PQ$ и $MN$ не могут быть параллельны. В общем случае они являются скрещивающимися прямыми.

Ответ: Нет, неверно.