Номер 1.59, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59. Докажите, что если $\alpha \parallel \beta$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \gamma$, где $\alpha, \beta, \gamma$ – плоскости.

Это свойство, известное как транзитивность параллельности плоскостей, доказывается методом от противного.

Дано:
$ \alpha, \beta, \gamma $ — три различные плоскости.
$ \alpha \parallel \beta $ (плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $).
$ \beta \parallel \gamma $ (плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $).

Доказать:
$ \alpha \parallel \gamma $ (плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $).

Доказательство:

Предположим, что утверждение неверно, то есть плоскость $ \alpha $ не параллельна плоскости $ \gamma $. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ m $.
$ \alpha \cap \gamma = m $

Выберем на прямой $ m $ произвольную точку $ A $. Поскольку прямая $ m $ принадлежит одновременно и плоскости $ \alpha $, и плоскости $ \gamma $, то точка $ A $ также принадлежит обеим этим плоскостям: $ A \in \alpha $ и $ A \in \gamma $.

Теперь воспользуемся данными из условия задачи:
1. Нам дано, что $ \alpha \parallel \beta $. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек. Так как точка $ A $ принадлежит плоскости $ \alpha $, она не может принадлежать плоскости $ \beta $. Таким образом, $ A \notin \beta $.
2. Нам дано, что $ \beta \parallel \gamma $. Это означает, что плоскость $ \gamma $ параллельна плоскости $ \beta $ (свойство симметричности параллельности).

В результате мы приходим к следующей ситуации: через точку $ A $, которая не лежит в плоскости $ \beta $, проходят две различные плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ (они различны, так как по нашему предположению они пересекаются, а не совпадают). При этом каждая из этих плоскостей ($ \alpha $ и $ \gamma $) параллельна плоскости $ \beta $.

Это утверждение напрямую противоречит теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной. Эта теорема гласит: через точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение (о том, что $ \alpha $ и $ \gamma $ пересекаются) было ложным. Следовательно, плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение о том, что если плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $, а плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $, то плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $, доказано.