Номер 1.54, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Квадрат $ABCD$ со стороной, равной 10 см, и точка $O$ не лежат в одной плоскости. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются серединами отрезков $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ лежат в плоскости, параллельной плоскости квадрата $ABCD$.

2) Найдите периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$.

Для наглядности представим геометрическую ситуацию в виде рисунка, где $ABCD$ — квадрат в одной плоскости, а точка $O$ находится вне этой плоскости, образуя пирамиду $OABCD$. Точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются серединами боковых ребер пирамиды.

1) Докажите, что точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ лежат в плоскости, параллельной плоскости квадрата $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $OAB$. По условию, точка $A_1$ является серединой отрезка $OA$, а точка $B_1$ – серединой отрезка $OB$. Следовательно, отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $OAB$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $A_1B_1 \parallel AB$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости квадрата $(ABC)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $A_1B_1$ параллельна плоскости $(ABC)$.

Аналогично рассмотрим треугольник $OAD$. Точки $A_1$ и $D_1$ являются серединами сторон $OA$ и $OD$ соответственно. Значит, $A_1D_1$ – средняя линия треугольника $OAD$. Отсюда следует, что $A_1D_1 \parallel AD$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и прямая $A_1D_1$ параллельна плоскости $(ABC)$.

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся в точке $A_1$ прямые $A_1B_1$ и $A_1D_1$, которые определяют плоскость $(A_1B_1D_1)$ (в которой также лежат точки $C_1$ и $D_1$), и каждая из этих прямых параллельна плоскости $(ABC)$. По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости $(ABC)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$.

Для нахождения периметра четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ необходимо найти длины его сторон. Из доказательства в пункте 1 мы знаем, что стороны этого четырехугольника являются средними линиями соответствующих треугольников с общей вершиной $O$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.

В треугольнике $OAB$: $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

В треугольнике $OBC$: $B_1C_1 = \frac{1}{2}BC$.

В треугольнике $OCD$: $C_1D_1 = \frac{1}{2}CD$.

В треугольнике $ODA$: $D_1A_1 = \frac{1}{2}DA$.

По условию, $ABCD$ – это квадрат со стороной 10 см, значит $AB = BC = CD = DA = 10$ см.

Тогда длины сторон четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равны:

$A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1 = D_1A_1 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} = 5$ см.

Поскольку все стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равны, его периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 4 \times (\text{длина стороны})$.

$P_{A_1B_1C_1D_1} = 4 \times 5 \text{ см} = 20$ см.

Ответ: 20 см.