Номер 1.49, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. Точка $E$ не лежит в плоскости прямоугольника $ABCD$. Докажите, что каждая сторона прямоугольника параллельна плоскости, проходящей через противоположную сторону прямоугольника и точку $E$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ и точка $E$, не лежащая в плоскости этого прямоугольника. Требуется доказать, что каждая сторона прямоугольника параллельна плоскости, проходящей через противоположную ей сторону и точку $E$.

Для наглядности представим данную конфигурацию в виде пирамиды $EABCD$ с прямоугольным основанием.

Для доказательства будем использовать признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство проведем для каждой пары противоположных сторон прямоугольника.

1. Доказательство для пары противоположных сторон $AB$ и $CD$

Сначала докажем, что сторона $AB$ параллельна плоскости $(CDE)$, которая проходит через противоположную сторону $CD$ и точку $E$.

• По свойству прямоугольника его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AB \parallel CD$.
• Прямая $CD$ по построению лежит в плоскости $(CDE)$, т.е. $CD \subset (CDE)$.
• Прямая $AB$ не лежит в плоскости $(CDE)$. Если бы она лежала в этой плоскости, то точки $A$ и $B$ принадлежали бы плоскости $(CDE)$. Так как точки $C$ и $D$ также принадлежат этой плоскости, это означало бы, что все четыре вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости с точкой $E$, что противоречит условию задачи. Значит, $AB \not\subset (CDE)$.
• Таким образом, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, лежащей в плоскости $(CDE)$, и при этом сама прямая $AB$ в этой плоскости не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости, $AB \parallel (CDE)$.

Аналогично доказывается, что сторона $CD$ параллельна плоскости $(ABE)$. Так как $CD \parallel AB$ и $AB \subset (ABE)$, а $CD \not\subset (ABE)$, то $CD \parallel (ABE)$.

2. Доказательство для пары противоположных сторон $BC$ и $AD$

Рассуждения для этой пары сторон полностью аналогичны.

• Из свойств прямоугольника имеем $BC \parallel AD$.
• Докажем, что $BC \parallel (ADE)$. Так как $BC \parallel AD$ и $AD \subset (ADE)$, а $BC \not\subset (ADE)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $BC \parallel (ADE)$.
• Докажем, что $AD \parallel (BCE)$. Так как $AD \parallel BC$ и $BC \subset (BCE)$, а $AD \not\subset (BCE)$, то по тому же признаку $AD \parallel (BCE)$.

Таким образом, мы доказали, что каждая сторона прямоугольника параллельна плоскости, проходящей через противоположную ей сторону и точку $E$.

Ответ: Утверждение доказано.