Страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.39. Плоскость, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $P$, а $AC$ – в точке $Q$. Сторона $AB$ равна 16 см, а $BC$ – 10 см. Найдите:

1) PQ при условии, что $AP:PB = 3:2$;

2) AP при условии, что $PQ:BC = 1:4$.

Поскольку плоскость, содержащая отрезок $PQ$, параллельна стороне $BC$, то прямая $PQ$ параллельна прямой $BC$ ($PQ \parallel BC$). Следовательно, треугольник $APQ$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle APQ \sim \triangle ABC$) по двум углам (угол $A$ общий, а $\angle APQ = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$ и $BC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:$ \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC} $

1) Найдите $PQ$ при условии, что $AP:PB = 3:2$.Дано: $AB = 16$ см, $BC = 10$ см, $AP:PB = 3:2$.Найдем отношение стороны $AP$ ко всей стороне $AB$. Из условия $AP:PB = 3:2$ следует, что отрезок $AB$ состоит из $3+2=5$ частей. На отрезок $AP$ приходится 3 части, а на всю сторону $AB$ — 5 частей. Таким образом, отношение $\frac{AP}{AB} = \frac{3}{5}$.Теперь воспользуемся пропорцией из подобия треугольников: $\frac{PQ}{BC} = \frac{AP}{AB}$.Подставим известные значения:$\frac{PQ}{10} = \frac{3}{5}$Отсюда находим $PQ$:$PQ = 10 \cdot \frac{3}{5} = \frac{30}{5} = 6$ см.Ответ: $6$ см.

2) Найдите $AP$ при условии, что $PQ:BC = 1:4$.Дано: $AB = 16$ см, $PQ:BC = 1:4$.Воспользуемся той же пропорцией из подобия треугольников: $\frac{AP}{AB} = \frac{PQ}{BC}$.По условию дано отношение $\frac{PQ}{BC} = \frac{1}{4}$. Подставим известные значения в пропорцию:$\frac{AP}{16} = \frac{1}{4}$Отсюда находим $AP$:$AP = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ см.Ответ: $4$ см.

1.40. Докажите, что $a \parallel b$, если $b = a \cap \beta$, $a \subset \alpha$ и $a \parallel \beta$.

Дано:
$b = \alpha \cap \beta$ (плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $b$),
$a \subset \alpha$ (прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$),
$a \parallel \beta$ (прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$).

Доказать:
$a \parallel b$ (прямая $a$ параллельна прямой $b$).

Доказательство:

Доказательство проведем методом от противного.

1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Это следует из условий: $a \subset \alpha$ (дано) и $b \subset \alpha$ (поскольку $b$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, она принадлежит обеим плоскостям, в том числе и $\alpha$).

2. Две прямые, лежащие в одной плоскости, могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Случай, когда прямые совпадают ($a = b$), невозможен, так как по условию $a \parallel \beta$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Если бы $a=b$, то и $a \subset \beta$, что противоречит условию $a \parallel \beta$.

3. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны, а пересекаются в некоторой точке $M$.

4. Если точка $M$ является точкой пересечения, то она принадлежит обеим прямым: $M \in a$ и $M \in b$.

5. Поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то и точка $M$, принадлежащая прямой $b$, также лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

6. Таким образом, мы установили, что точка $M$ принадлежит одновременно и прямой $a$, и плоскости $\beta$. Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$.

7. Этот вывод находится в прямом противоречии с условием задачи, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$). По определению, прямая, параллельная плоскости, не имеет с ней ни одной общей точки.

8. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, является ложным.

9. Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости ($\alpha$) и не пересекаются (и не совпадают), они могут быть только параллельными.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.41. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Плоскость, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$, делит отрезок $BC$ в точке $K$ в отношении $BK : KC = 2 : 3$. Найдите точку $E$ – точку пересечения этой плоскости и отрезка $AC$ и отношение $AE : EC$.

По условию, точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, следовательно, они образуют вершины тетраэдра DABC.

Обозначим данную в условии плоскость через $\alpha$. Нам известно, что точка $D$ принадлежит плоскости $\alpha$, и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$. Также плоскость $\alpha$ пересекает ребро $BC$ в точке $K$. Нам нужно найти точку $E$ — точку пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AC$ и определить отношение $AE : EC$.

Для того чтобы найти точку E, воспользуемся свойством параллельности прямой и плоскости. Точки $A$, $B$ и $C$ определяют плоскость $(ABC)$. Прямая $AB$ лежит в этой плоскости. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABC)$ должна быть параллельна прямой $AB$.

Точка $K$ принадлежит ребру $BC$, а значит, и плоскости $(ABC)$. По условию, точка $K$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $K$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$.

Таким образом, для нахождения искомой точки $E$ необходимо в плоскости треугольника $ABC$ провести через точку $K$ прямую, параллельную прямой $AB$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AC$ и будет являться точкой $E$.

Теперь найдем отношение $AE : EC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем проведен отрезок $KE$ так, что $K \in BC$, $E \in AC$ и, как мы установили, $KE \parallel AB$.

Согласно теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle CKE$ и $\triangle CBA$), прямая $KE$, параллельная стороне $AB$, делит стороны $BC$ и $AC$ в одинаковом отношении, считая от вершины $C$. То есть:

$\frac{CE}{CA} = \frac{CK}{CB}$

По условию задачи дано отношение $BK : KC = 2 : 3$. Это означает, что отрезок $KC$ составляет 3 части, а отрезок $BK$ — 2 части от всего отрезка $BC$. Весь отрезок $BC$ состоит из $2+3=5$ таких частей.

Найдем отношение длины отрезка $CK$ к длине всего отрезка $CB$:

$\frac{CK}{CB} = \frac{KC}{BK + KC} = \frac{3}{2 + 3} = \frac{3}{5}$

Подставим это значение в ранее полученное соотношение:

$\frac{CE}{CA} = \frac{3}{5}$

Из этого равенства следует, что длина отрезка $CE$ составляет $\frac{3}{5}$ длины отрезка $CA$. Тогда длина отрезка $AE$ составляет оставшуюся часть:

$AE = CA - CE = CA - \frac{3}{5} CA = \frac{2}{5} CA$

Теперь мы можем найти искомое отношение $AE : EC$:

$\frac{AE}{EC} = \frac{\frac{2}{5} CA}{\frac{3}{5} CA} = \frac{2}{3}$

Ответ: Точка E — это точка пересечения отрезка AC с прямой, которая проходит через точку K в плоскости треугольника ABC и параллельна прямой AB. Отношение отрезков, на которые точка E делит сторону AC, равно $AE : EC = 2 : 3$.

1.42. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины отрезков $AB$, $AD$, $BC$ и $CD$ являются вершинами параллелограмма.

Доказательство:

Пусть нам даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Обозначим середины отрезков AB, AD, BC и CD как K, L, M и N соответственно.

Чтобы доказать, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма, нужно показать, что четырехугольник, образованный этими точками, имеет пару противоположных сторон, которые равны и параллельны. Рассмотрим четырехугольник KMLN.

1. Рассмотрим треугольник ABC.

По определению, точка K является серединой стороны AB, а точка M – серединой стороны BC. Следовательно, отрезок KM является средней линией треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, мы имеем:

$KM \parallel AC$ и $KM = \frac{1}{2} AC$.

2. Рассмотрим треугольник ADC.

Аналогично, точка L является серединой стороны AD, а точка N – серединой стороны CD. Следовательно, отрезок LN является средней линией треугольника ADC.

По свойству средней линии треугольника, мы имеем:

$LN \parallel AC$ и $LN = \frac{1}{2} AC$.

3. Сравним отрезки KM и LN.

Из результатов, полученных в пунктах 1 и 2, мы видим, что оба отрезка KM и LN параллельны одному и тому же отрезку AC. По свойству транзитивности параллельных прямых, отрезки KM и LN параллельны друг другу:

$KM \parallel LN$.

Также, из тех же пунктов следует, что длины отрезков KM и LN равны, так как они обе равны половине длины отрезка AC:

$KM = LN = \frac{1}{2} AC$.

4. Заключение.

Мы рассматриваем четырехугольник KMLN. Мы доказали, что его противоположные стороны KM и LN параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Следовательно, четырехугольник, вершинами которого являются середины отрезков AB, AD, BC и CD, является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.43. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, диагонали которого равны 8 см и 6 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда, если площадь боковой грани равна $35\text{ см}^2$.

По условию, дан прямой параллелепипед, основанием которого является ромб. Так как параллелепипед прямой, его боковые грани — прямоугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

1. Нахождение стороны ромба

Основанием параллелепипеда является ромб с диагоналями $d_1 = 8$ см и $d_2 = 6$ см. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей:
$d_1 / 2 = 8 / 2 = 4$ см
$d_2 / 2 = 6 / 2 = 3$ см

Гипотенуза этого треугольника является стороной ромба. Обозначим сторону ромба буквой $a$. По теореме Пифагора:

$a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$
$a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$a = \sqrt{25} = 5$ см

Таким образом, длина стороны ромба, служащего основанием, равна 5 см.

2. Нахождение бокового ребра параллелепипеда

Боковая грань прямого параллелепипеда — это прямоугольник. Его стороны — это сторона основания (сторона ромба $a$) и боковое ребро параллелепипеда (обозначим его как $h$).

Площадь боковой грани $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = a \cdot h$

По условию задачи, площадь боковой грани равна $S_{бок} = 35$ см². Мы уже вычислили, что сторона основания $a = 5$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти боковое ребро $h$:

$35 = 5 \cdot h$
$h = \frac{35}{5}$
$h = 7$ см

Ответ: боковое ребро параллелепипеда равно 7 см.

1.44. Докажите, что прямая, пересекающая две параллельные прямые, лежит в одной плоскости с этими прямыми.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (то есть $a \parallel b$). Пусть прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$.

Докажем, что все три прямые ($a$, $b$ и $c$) лежат в одной плоскости.
1. Согласно аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость, содержащую прямые $a$ и $b$, буквой $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ целиком лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).
2. Точка $A$ является точкой пересечения прямых $a$ и $c$, значит, она принадлежит прямой $a$ ($A \in a$). Поскольку вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ также лежит в этой плоскости ($A \in \alpha$).
3. Аналогично, точка $B$ является точкой пересечения прямых $b$ и $c$, значит, она принадлежит прямой $b$ ($B \in b$). Поскольку вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ также лежит в этой плоскости ($B \in \alpha$).
4. Итак, мы установили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$. Точки $A$ и $B$ не совпадают, так как в противном случае прямые $a$ и $b$ имели бы общую точку, что противоречит условию их параллельности.
5. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что прямая $c$ также целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).
Таким образом, мы доказали, что прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1.45. Точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости. Покажите, что плоскость, проходящая через середины отрезков $AD, AC, BC$, проходит и через середину отрезка $BD$.

Пусть M, N, K и P — середины отрезков AD, AC, BC и BD соответственно. Поскольку по условию точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, они образуют вершины тетраэдра ABCD.

Для наглядности представим данную конфигурацию на чертеже:

Докажем утверждение, используя свойства средних линий треугольника.

1. Рассмотрим грань $ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AD$ и $AC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN \parallel DC$ и $MN = \frac{1}{2}DC$.

2. Рассмотрим грань $BDC$. Отрезок $PK$ соединяет середины сторон $BD$ и $BC$. Следовательно, $PK$ является средней линией треугольника $BDC$. По тому же свойству: $PK \parallel DC$ и $PK = \frac{1}{2}DC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $MN \parallel DC$ и $PK \parallel DC$. По свойству транзитивности параллельности прямых в пространстве, получаем, что $MN \parallel PK$.

4. Теперь рассмотрим грань $ABC$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Таким образом, $NK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Отсюда следует, что $NK \parallel AB$ и $NK = \frac{1}{2}AB$.

5. Аналогично, в грани $ABD$ отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AD$ и $BD$. Таким образом, $MP$ — средняя линия треугольника $ABD$. Отсюда следует, что $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$.

6. Из пунктов 4 и 5 следует, что $NK \parallel AB$ и $MP \parallel AB$, а значит $NK \parallel MP$.

Таким образом, в четырехугольнике $MNPK$ противолежащие стороны попарно параллельны: $MN \parallel PK$ и $MP \parallel NK$. По определению, четырехугольник $MNPK$ является параллелограммом. (Такой параллелограмм называют параллелограммом Вариньона для тетраэдра).

Все вершины параллелограмма лежат в одной плоскости. По условию, плоскость проходит через точки M, N и K. Поскольку точка P лежит в одной плоскости с точками M, N и K, она также принадлежит этой плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через середины отрезков $AD$, $AC$ и $BC$, проходит и через середину отрезка $BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что середины отрезков AD, AC, BC и BD образуют вершины параллелограмма. Так как все вершины параллелограмма лежат в одной плоскости, плоскость, проходящая через любые три из этих точек (середины AD, AC и BC), будет содержать и четвертую точку (середину BD).

1.46. Точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости и $AB = AC = AD = BC = BD = CD = 9$ см. Плоскость, параллельная отрезкам $BD$ и $CD$, пересекает $AD$ в точке $E$. Как найти точки пересечения $F$ и $K$ этой плоскости с отрезками $AB$ и $AC$ соответственно? Найдите периметр треугольника $EFK$, если $AE : ED = 1 : 2$.

В данной задаче мы имеем дело с правильным тетраэдром $ABCD$, так как все его ребра равны 9 см. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ на ребре $AD$ и параллельна двум пересекающимся ребрам $BD$ и $CD$.

Как найти точки пересечения F и K этой плоскости с отрезками AB и AC соответственно?

Обозначим секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ на ребре $AD$ и параллельна ребрам $BD$ и $CD$.

1. Построение точки F:
Точка $F$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$. Рассмотрим плоскость грани $ABD$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$ (по условию) и пересекает плоскость $ABD$ (которая содержит прямую $BD$), то линия их пересечения должна быть параллельна прямой $BD$. Эта линия пересечения проходит через точку $E$, так как $E \in \alpha$ и $E \in (ABD)$ (поскольку $E \in AD$).
Следовательно, для нахождения точки $F$ необходимо в плоскости грани $ABD$ провести через точку $E$ прямую, параллельную $BD$. Точка пересечения этой прямой с ребром $AB$ и будет искомой точкой $F$.

2. Построение точки K:
Аналогично, точка $K$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AC$. Рассмотрим плоскость грани $ACD$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CD$ и пересекает плоскость $ACD$. Линия их пересечения будет проходить через точку $E$ и будет параллельна прямой $CD$.
Следовательно, для нахождения точки $K$ необходимо в плоскости грани $ACD$ провести через точку $E$ прямую, параллельную $CD$. Точка пересечения этой прямой с ребром $AC$ и будет искомой точкой $K$.

Ответ: Точка $F$ находится как пересечение ребра $AB$ с прямой, проведенной в плоскости $ABD$ через точку $E$ параллельно ребру $BD$. Точка $K$ находится как пересечение ребра $AC$ с прямой, проведенной в плоскости $ACD$ через точку $E$ параллельно ребру $CD$.

Найдите периметр треугольника EFK, если AE : ED = 1 : 2.

Периметр треугольника $EFK$ равен сумме длин его сторон: $P_{EFK} = EF + FK + EK$. Найдем длину каждой стороны.

Из условия $AE : ED = 1 : 2$ следует, что $AD = AE + ED = AE + 2AE = 3AE$. Таким образом, отношение $\frac{AE}{AD} = \frac{AE}{3AE} = \frac{1}{3}$.

1. Найдем длину стороны EF:
Рассмотрим треугольник $ABD$. По построению, $EF \parallel BD$. Следовательно, треугольник $AEF$ подобен треугольнику $ADB$ ($\triangle AEF \sim \triangle ADB$). Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:$\frac{AE}{AD} = \frac{AF}{AB} = \frac{EF}{DB} = \frac{1}{3}$.
Так как по условию $DB = 9$ см, то $EF = \frac{1}{3} DB = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

2. Найдем длину стороны EK:
Рассмотрим треугольник $ACD$. По построению, $EK \parallel CD$. Следовательно, треугольник $AEK$ подобен треугольнику $ADC$ ($\triangle AEK \sim \triangle ADC$). Коэффициент подобия также равен $\frac{AE}{AD} = \frac{1}{3}$.
$\frac{AE}{AD} = \frac{AK}{AC} = \frac{EK}{DC} = \frac{1}{3}$.
Так как по условию $DC = 9$ см, то $EK = \frac{1}{3} DC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

3. Найдем длину стороны FK:
Поскольку секущая плоскость $\alpha$ параллельна двум пересекающимся прямым $BD$ и $CD$ плоскости $BCD$, то плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $BCD$.
Плоскость грани $ABC$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $BCD$ по прямым $FK$ и $BC$ соответственно. Следовательно, эти прямые параллельны: $FK \parallel BC$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $FK \parallel BC$, то треугольник $AFK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle AFK \sim \triangle ABC$).
Из подобия $\triangle AEF \sim \triangle ADB$ мы знаем, что $\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AD} = \frac{1}{3}$. Это и есть коэффициент подобия для треугольников $AFK$ и $ABC$.
$\frac{AF}{AB} = \frac{FK}{BC} = \frac{1}{3}$.
Так как по условию $BC = 9$ см, то $FK = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

4. Вычислим периметр:
$P_{EFK} = EF + EK + FK = 3 + 3 + 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

1.47. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом прямого доказательства, основанным на аксиомах и теоремах стереометрии.

Дано:
Две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$).
Плоскость $\alpha$, которая пересекает прямую $a$ в точке $M$. ($a \cap \alpha = M$).
Доказать:
Плоскость $\alpha$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Рассмотрим два случая взаимного расположения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

1. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке.

По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, существует единственная плоскость $\beta$, в которой лежат обе прямые $a$ и $b$. То есть, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

По условию, плоскость $\alpha$ пересекает прямую $a$ в точке $M$. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). Поскольку точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, она является общей точкой для этих двух плоскостей.

Если две плоскости ($\alpha$ и $\beta$) имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Все точки прямой $c$ принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. Точка $M$ лежит на этой прямой ($M \in c$).

Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В этой плоскости лежат две параллельные прямые $a$ и $b$, а также прямая $c$. Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$ (по построению).

Из планиметрии известно, что если на плоскости прямая ($c$) пересекает одну из двух параллельных прямых ($a$), то она пересекает и вторую ($b$). Это следует из аксиомы параллельных прямых. Обозначим точку пересечения прямых $b$ и $c$ как $N$. Итак, $N = b \cap c$.

Поскольку прямая $c$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$), то и точка $N$, принадлежащая прямой $c$, также лежит в плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$).

Таким образом, мы нашли точку $N$, которая одновременно принадлежит и прямой $b$, и плоскости $\alpha$. Это означает, что плоскость $\alpha$ пересекает прямую $b$ в точке $N$.

2. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ параллельна прямой $a$, то для прямой $b$ и плоскости $\alpha$ возможны два варианта (согласно признаку параллельности прямой и плоскости):

1) Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. В этом случае она не пересекает плоскость $\alpha$.
2) Прямая $b$ также лежит в плоскости $\alpha$. В этом случае она пересекает плоскость (имеет с ней бесконечно много общих точек).

Формулировка задачи "плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых", как правило, подразумевает пересечение в одной точке (случай 1). Если же допускать, что прямая может лежать в плоскости, то утверждение не всегда верно, так как возможен случай, когда $a \subset \alpha$, а $b \parallel \alpha$ и $b \not\subset \alpha$. Однако, если доказать, что такой случай невозможен, то теорема верна и для этого варианта. Докажем от противного: предположим, что $a \subset \alpha$, $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$. Но через параллельные прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость $\beta$. Тогда плоскость $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Если $b \parallel \alpha$, то $b$ должна быть параллельна линии пересечения $a$. Но по условию $b \parallel a$. Это не приводит к противоречию. Следовательно, стандартная трактовка "пересекает" как "имеет одну общую точку" является ключевой. При такой трактовке доказательство, приведенное в пункте 1, является полным.

Ответ: Утверждение доказано при стандартном понимании термина "пересекает" как наличие единственной общей точки. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых в одной точке, то она обязательно пересекает и вторую прямую.

1.48. Найдите геометрическое место (множество) всех прямых, параллельных прямой $a$ и пересекающих прямую $b$, причем $b \not\parallel a$.

Для решения задачи нам нужно найти множество всех прямых (обозначим произвольную прямую из этого множества как $l$), которые удовлетворяют двум условиям:

1. Прямая $l$ параллельна данной прямой $a$ (записывается как $l \parallel a$).

2. Прямая $l$ пересекает данную прямую $b$.

При этом известно, что прямые $a$ и $b$ не параллельны друг другу ($a \nparallel b$). Это означает, что прямые $a$ и $b$ могут либо пересекаться, либо скрещиваться. Рассмотрим оба этих варианта.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Если две прямые пересекаются, они задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\Pi$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\Pi$.

Рассмотрим любую прямую $l$ из искомого множества. По условию, она должна пересекать прямую $b$ в некоторой точке $P$. Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $b$, она также принадлежит и плоскости $\Pi$. Кроме того, прямая $l$ должна быть параллельна прямой $a$. Так как прямая $l$ проходит через точку $P \in \Pi$ и параллельна прямой $a$, которая также лежит в $\Pi$, то вся прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\Pi$.

Следовательно, все прямые, удовлетворяющие условиям, находятся в плоскости $\Pi$. Множество всех прямых в плоскости $\Pi$, параллельных прямой $a$, и будет искомым множеством. Это множество прямых полностью покрывает всю плоскость $\Pi$. Таким образом, геометрическое место точек, принадлежащих этим прямым, есть сама плоскость $\Pi$.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ скрещиваются.

Если прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то через прямую $b$ можно провести единственную плоскость $\Pi$, параллельную прямой $a$. Для построения такой плоскости можно взять любую точку на прямой $b$ и провести через нее прямую, параллельную $a$. Эта новая прямая и прямая $b$ пересекаются и задают плоскость $\Pi$.

Докажем, что эта плоскость $\Pi$ и есть искомое геометрическое место, образованное совокупностью всех прямых $l$.

1. Возьмем любую прямую $l$ из искомого множества. Она параллельна $a$ ($l \parallel a$) и пересекает $b$ в некоторой точке $P$. Так как $P$ лежит на $b$, то $P$ принадлежит плоскости $\Pi$. Прямая $l$ проходит через точку $P \in \Pi$ и параллельна прямой $a$. Поскольку плоскость $\Pi$ по построению параллельна прямой $a$, то вся прямая $l$ должна лежать в плоскости $\Pi$.

2. Теперь возьмем любую точку $Q$ в плоскости $\Pi$ и проведем через нее прямую $l'$ параллельно прямой $a$. Так как $Q \in \Pi$ и $\Pi \parallel a$, прямая $l'$ целиком лежит в плоскости $\Pi$. Прямые $l'$ и $b$ обе лежат в одной плоскости $\Pi$. Они не могут быть параллельны, так как в противном случае прямая $b$ была бы параллельна $l'$, а значит и $a$ ($b \parallel l' \parallel a$), что противоречит условию задачи ($a \nparallel b$). Так как $l'$ и $b$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются. Это означает, что прямая $l'$ удовлетворяет условиям задачи и принадлежит искомому множеству.

Таким образом, любая точка плоскости $\Pi$ принадлежит одной из прямых искомого множества, и все эти прямые лежат в $\Pi$.

Общий вывод

В обоих случаях — и для пересекающихся, и для скрещивающихся прямых $a$ и $b$ — объединение всех прямых, параллельных $a$ и пересекающих $b$, образует одну и ту же геометрическую фигуру. Это плоскость, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$.

На рисунке показан случай скрещивающихся прямых. Плоскость $\Pi$ содержит прямую $b$ и параллельна прямой $a$. Штриховыми линиями показаны некоторые из прямых искомого множества. Они все лежат в плоскости $\Pi$, параллельны $a$ и пересекают $b$. Совокупность всех таких прямых заполняет всю плоскость $\Pi$.

Ответ: Искомое геометрическое место прямых есть множество всех прямых, лежащих в плоскости, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$. Это множество прямых образует (заполняет) указанную плоскость.

1.49. Точка $E$ не лежит в плоскости прямоугольника $ABCD$. Докажите, что каждая сторона прямоугольника параллельна плоскости, проходящей через противоположную сторону прямоугольника и точку $E$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ и точка $E$, не лежащая в плоскости этого прямоугольника. Требуется доказать, что каждая сторона прямоугольника параллельна плоскости, проходящей через противоположную ей сторону и точку $E$.

Для наглядности представим данную конфигурацию в виде пирамиды $EABCD$ с прямоугольным основанием.

Для доказательства будем использовать признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство проведем для каждой пары противоположных сторон прямоугольника.

1. Доказательство для пары противоположных сторон $AB$ и $CD$

Сначала докажем, что сторона $AB$ параллельна плоскости $(CDE)$, которая проходит через противоположную сторону $CD$ и точку $E$.

• По свойству прямоугольника его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AB \parallel CD$.
• Прямая $CD$ по построению лежит в плоскости $(CDE)$, т.е. $CD \subset (CDE)$.
• Прямая $AB$ не лежит в плоскости $(CDE)$. Если бы она лежала в этой плоскости, то точки $A$ и $B$ принадлежали бы плоскости $(CDE)$. Так как точки $C$ и $D$ также принадлежат этой плоскости, это означало бы, что все четыре вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости с точкой $E$, что противоречит условию задачи. Значит, $AB \not\subset (CDE)$.
• Таким образом, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, лежащей в плоскости $(CDE)$, и при этом сама прямая $AB$ в этой плоскости не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости, $AB \parallel (CDE)$.

Аналогично доказывается, что сторона $CD$ параллельна плоскости $(ABE)$. Так как $CD \parallel AB$ и $AB \subset (ABE)$, а $CD \not\subset (ABE)$, то $CD \parallel (ABE)$.

2. Доказательство для пары противоположных сторон $BC$ и $AD$

Рассуждения для этой пары сторон полностью аналогичны.

• Из свойств прямоугольника имеем $BC \parallel AD$.
• Докажем, что $BC \parallel (ADE)$. Так как $BC \parallel AD$ и $AD \subset (ADE)$, а $BC \not\subset (ADE)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $BC \parallel (ADE)$.
• Докажем, что $AD \parallel (BCE)$. Так как $AD \parallel BC$ и $BC \subset (BCE)$, а $AD \not\subset (BCE)$, то по тому же признаку $AD \parallel (BCE)$.

Таким образом, мы доказали, что каждая сторона прямоугольника параллельна плоскости, проходящей через противоположную ей сторону и точку $E$.

Ответ: Утверждение доказано.