Номер 1.41, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Плоскость, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$, делит отрезок $BC$ в точке $K$ в отношении $BK : KC = 2 : 3$. Найдите точку $E$ – точку пересечения этой плоскости и отрезка $AC$ и отношение $AE : EC$.

По условию, точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости, следовательно, они образуют вершины тетраэдра DABC.

Обозначим данную в условии плоскость через $\alpha$. Нам известно, что точка $D$ принадлежит плоскости $\alpha$, и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$. Также плоскость $\alpha$ пересекает ребро $BC$ в точке $K$. Нам нужно найти точку $E$ — точку пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AC$ и определить отношение $AE : EC$.

Для того чтобы найти точку E, воспользуемся свойством параллельности прямой и плоскости. Точки $A$, $B$ и $C$ определяют плоскость $(ABC)$. Прямая $AB$ лежит в этой плоскости. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABC)$ должна быть параллельна прямой $AB$.

Точка $K$ принадлежит ребру $BC$, а значит, и плоскости $(ABC)$. По условию, точка $K$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $K$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$.

Таким образом, для нахождения искомой точки $E$ необходимо в плоскости треугольника $ABC$ провести через точку $K$ прямую, параллельную прямой $AB$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AC$ и будет являться точкой $E$.

Теперь найдем отношение $AE : EC$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем проведен отрезок $KE$ так, что $K \in BC$, $E \in AC$ и, как мы установили, $KE \parallel AB$.

Согласно теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle CKE$ и $\triangle CBA$), прямая $KE$, параллельная стороне $AB$, делит стороны $BC$ и $AC$ в одинаковом отношении, считая от вершины $C$. То есть:

$\frac{CE}{CA} = \frac{CK}{CB}$

По условию задачи дано отношение $BK : KC = 2 : 3$. Это означает, что отрезок $KC$ составляет 3 части, а отрезок $BK$ — 2 части от всего отрезка $BC$. Весь отрезок $BC$ состоит из $2+3=5$ таких частей.

Найдем отношение длины отрезка $CK$ к длине всего отрезка $CB$:

$\frac{CK}{CB} = \frac{KC}{BK + KC} = \frac{3}{2 + 3} = \frac{3}{5}$

Подставим это значение в ранее полученное соотношение:

$\frac{CE}{CA} = \frac{3}{5}$

Из этого равенства следует, что длина отрезка $CE$ составляет $\frac{3}{5}$ длины отрезка $CA$. Тогда длина отрезка $AE$ составляет оставшуюся часть:

$AE = CA - CE = CA - \frac{3}{5} CA = \frac{2}{5} CA$

Теперь мы можем найти искомое отношение $AE : EC$:

$\frac{AE}{EC} = \frac{\frac{2}{5} CA}{\frac{3}{5} CA} = \frac{2}{3}$

Ответ: Точка E — это точка пересечения отрезка AC с прямой, которая проходит через точку K в плоскости треугольника ABC и параллельна прямой AB. Отношение отрезков, на которые точка E делит сторону AC, равно $AE : EC = 2 : 3$.