Номер 1.35, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. На рис. 1.30 прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $B$ и $C$ соответственно. Можно ли считать, что $b \parallel c$, если $D=a \cap b$, $E = a \cap c$?

Рис. 1.30

Нет, на основании данных условий нельзя однозначно утверждать, что прямые b и c параллельны.

Для того чтобы две прямые в пространстве были параллельны ($b \parallel c$), они должны удовлетворять двум условиям: 1) лежать в одной плоскости (быть копланарными); 2) не пересекаться.

Проанализируем заданную конфигурацию:

1. Прямые a и b пересекаются в точке D ($D=a \cap b$). Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $ \beta $. Таким образом, прямые a и b лежат в плоскости $ \beta $.

2. Аналогично, прямые a и c пересекаются в точке E ($E=a \cap c$). Они также определяют единственную плоскость. Обозначим ее $ \gamma $. Прямые a и c лежат в плоскости $ \gamma $.

Прямая a является общей для обеих плоскостей $ \beta $ и $ \gamma $. Теперь возможны два принципиальных случая:

Случай 1: Плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ не совпадают.

Это общий случай, который и изображен на рисунке, где точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. В этом случае плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ пересекаются по прямой $a$. Прямая $b$ лежит в плоскости $ \beta $, но не в $ \gamma $, а прямая $c$ лежит в плоскости $ \gamma $, но не в $ \beta $. Поскольку прямые $b$ и $c$ лежат в разных плоскостях, они не могут быть параллельными. Такие прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не параллельны.

Случай 2: Плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ совпадают.

Если $ \beta = \gamma $, то все три прямые — a, b и c — лежат в одной плоскости. Задача сводится к планиметрической. У нас есть три прямые в одной плоскости, причем прямая a является секущей для прямых b и c. Однако сам факт существования секущей не гарантирует параллельности прямых b и c. Они могут как быть параллельными, так и пересекаться в некоторой точке. Для вывода об их параллельности необходимы дополнительные условия (например, о равенстве каких-либо углов, образованных при пересечении).

Поскольку существуют возможные конфигурации, удовлетворяющие условию задачи, в которых прямые $b$ и $c$ не являются параллельными, то сделать однозначный вывод об их параллельности нельзя.

Ответ: Нельзя, так как прямые $b$ и $c$ могут быть скрещивающимися или пересекающимися.