Номер 1.36, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. Даны точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $AB \parallel CD$. Плоскость, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите $BC$ и $AD$, если $AB = 8$ см, $CD = 6$ см, $DE = 3$ см и $BE = 6$ см.

Проанализируем условие задачи. Даны четыре точки А, B, C, D, причем отрезки $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Это означает, что прямые, содержащие эти отрезки, параллельны. Две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, поэтому все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. Фигура ABCD является трапецией с основаниями AB и CD.

Далее, сказано, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки B и C, пересекает отрезок AD в точке E. Это означает, что точка E одновременно принадлежит плоскости $\alpha$ и отрезку AD.

Поскольку точки B и C лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая BC лежит в этой плоскости. Точка E, принадлежа отрезку AD, также лежит на прямой AD. Таким образом, точка E является точкой пересечения прямых AD и BC.

Условие, что точка E принадлежит именно отрезку AD, означает, что "боковые" стороны трапеции AD и BC пересекаются. Такую трапецию называют самопересекающейся или перекрещенной. Точка E является точкой пересечения ее боковых сторон.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEB$ и $\triangle DEC$.

1. $\angle AEB = \angle DEC$ как вертикальные углы.

2. $\angle EAB = \angle EDC$ (или $\angle DAB = \angle ADC$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AD.

3. $\angle EBA = \angle ECD$ (или $\angle CBA = \angle BCD$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BC.

Следовательно, треугольники $\triangle AEB$ и $\triangle DEC$ подобны по трем углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE} = \frac{AB}{CD} $

Подставим известные значения: $AB = 8$ см, $CD = 6$ см, $DE = 3$ см и $BE = 6$ см. $ \frac{AE}{3} = \frac{6}{CE} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $

Из пропорции найдем неизвестные длины отрезков $AE$ и $CE$.

Из $ \frac{AE}{3} = \frac{4}{3} $ следует, что $AE = 4$ см.

Из $ \frac{6}{CE} = \frac{4}{3} $ следует, что $4 \cdot CE = 6 \cdot 3 = 18$, откуда $CE = \frac{18}{4} = 4.5$ см.

Теперь можем найти искомые длины $BC$ и $AD$. Так как точка E лежит на отрезках AD и BC, то длины этих отрезков равны сумме длин их частей:

$AD = AE + ED = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$

$BC = BE + EC = 6 \text{ см} + 4.5 \text{ см} = 10.5 \text{ см}$

Ответ: $BC = 10.5$ см, $AD = 7$ см.