Номер 1.31, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Если:

1) $a \parallel \alpha$, $b \parallel \alpha$, то необходимо ли, чтобы $a \parallel b$;

2) $a \parallel b$, $b \parallel \alpha$, то как могут располагаться между собой прямая $a$ и плоскость $\alpha$;

3) $a \parallel \alpha$, $b \parallel \beta$, возможно ли пересечение плоскостей $\alpha$ и $\beta$?

Здесь $a$ и $b$ – прямые, а $\alpha$ и $\beta$ – плоскости. Обоснуйте ответ, выполните соответствующие чертежи.

1) Если $a \parallel \alpha$, $b \parallel \alpha$, то необходимо ли, чтобы $a \parallel b$?

Нет, не необходимо. Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, не обязательно параллельны друг другу. Относительно друг друга они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Так как существуют случаи, когда прямые не параллельны, то условие $a \parallel b$ не является необходимым.

Рассмотрим в качестве контрпримера случай пересекающихся прямых. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$ и задают плоскость $\gamma$. Если плоскость $\gamma$ параллельна плоскости $\alpha$, то любая прямая в плоскости $\gamma$ (включая $a$ и $b$) будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы имеем $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, но прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Чертеж ниже иллюстрирует эту ситуацию: плоскость $\gamma$, содержащая пересекающиеся прямые $a$ и $b$, параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Нет, не необходимо. Прямые $a$ и $b$ могут быть также пересекающимися или скрещивающимися.

2) Если $a \parallel b$, $b \parallel \alpha$, то как могут располагаться между собой прямая а и плоскость α?

Прямая $a$ может быть либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежать в плоскости $\alpha$.

Это утверждение известно как признак параллельности прямой и плоскости (иногда называемый леммой о параллельных прямых), который гласит: если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Таким образом, возможны два случая:

Случай 1: Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это происходит, когда прямая $b$ (и, соответственно, параллельная ей прямая $a$) не лежит в плоскости $\alpha$.

Случай 2: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Это возможно, если через прямую $b$, параллельную $\alpha$, провести плоскость, пересекающую $\alpha$ по прямой $a$. Тогда $a \parallel b$.

Ответ: Прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в плоскости $\alpha$.

3) Если $a \parallel \alpha$, $b \parallel \beta$, возможно ли пересечение плоскостей α и β?

Да, возможно. Условия $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \beta$ не накладывают никаких ограничений на взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

Рассмотрим пример, когда плоскости пересекаются. Пусть плоскость $\alpha$ горизонтальна, а плоскость $\beta$ — вертикальна. Очевидно, что эти плоскости пересекаются. Мы можем выбрать горизонтальную прямую $a$, не лежащую в $\alpha$, и она будет параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Также мы можем выбрать вертикальную прямую $b$, не лежащую в $\beta$, и она будет параллельна плоскости $\beta$ ($b \parallel \beta$). Таким образом, все условия задачи выполнены, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Ответ: Да, возможно.