Номер 1.26, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.26. Прямая $a$ и плоскость $\beta$ пересекаются. Можно ли провести плоскость, проходящую через прямую $a$ параллельно прямой $b$ ($b \subset \beta$)? Здесь $a \cap b = \emptyset$. Как называются прямые $a$ и $b$?

Можно ли провести плоскость, проходящую через прямую a параллельно прямой b ($b \subset \beta$)?

Да, такую плоскость провести можно, и она будет единственной. Рассмотрим алгоритм построения такой плоскости и докажем, что она удовлетворяет заданным условиям.

Дано:
1. Прямая $a$ и плоскость $\beta$ пересекаются: $a \cap \beta = \{M\}$.
2. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$: $b \subset \beta$.
3. Прямые $a$ и $b$ не пересекаются: $a \cap b = \emptyset$.

Построение:
1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $P$.
2. Через точку $P$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$ ($b' \parallel b$). В пространстве через любую точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.
3. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $P$. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

Доказательство:
Построенная плоскость $\gamma$ содержит прямую $a$ по построению ($a \subset \gamma$).
Также плоскость $\gamma$ содержит прямую $b'$, которая параллельна прямой $b$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($b$), не лежащая в данной плоскости ($\gamma$), параллельна некоторой прямой ($b'$), лежащей в этой плоскости, то исходная прямая параллельна самой плоскости. Следовательно, $b \parallel \gamma$.

Таким образом, мы доказали, что можно провести плоскость $\gamma$, проходящую через прямую $a$ и параллельную прямой $b$.

Ответ: Да, можно.

Как называются прямые a и b?

Рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $b$ в пространстве. Две прямые в пространстве могут быть пересекающимися, параллельными или скрещивающимися.

1. Прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, так как по условию $a \cap b = \emptyset$.
2. Прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными. Если бы мы предположили, что $a \parallel b$, то из этого и из того, что $b \subset \beta$, следовало бы по признаку параллельности прямой и плоскости, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ (или лежит в ней). Однако это противоречит условию задачи, согласно которому прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$.
3. Поскольку прямые $a$ и $b$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Условия, данные в задаче (одна прямая пересекает плоскость, а другая лежит в этой плоскости, но не пересекает первую прямую), являются признаком скрещивающихся прямых.

Ответ: Прямые $a$ и $b$ называются скрещивающимися.