Докажите самостоятельно, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3.2. Параллелепипед

Докажите самостоятельно

Пусть равные параллелограммы ABCD и $A_1B_1C_1D_1$ лежат в разных плоскостях и соответствующие стороны параллельны между собой: $AB \parallel A_1B_1$, $AD \parallel A_1D_1$, $BC \parallel B_1C_1$, $CD \parallel C_1D_1$ (рис.1.26). Тогда четырехугольники $AA_1B_1B$, $AA_1D_1D$, $BB_1C_1C$, $CC_1D_1D$ являются параллелограммами, т.е. через них проходит четыре плоскости.

Рис. 1.26

Для доказательства того, что указанные четырехугольники являются параллелограммами, мы воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

В условии задачи дано:

1. $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные параллелограммы. Из этого следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $AD = A_1D_1$.

2. Соответствующие стороны параллельны: $AB \parallel A_1B_1$, $BC \parallel B_1C_1$, $CD \parallel C_1D_1$, $AD \parallel A_1D_1$.

3. Параллелограммы лежат в разных плоскостях.

AA₁B₁B

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. По условию, параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны, что означает равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $AB = A_1B_1$. Также по условию дано, что эти стороны параллельны: $AB \parallel A_1B_1$. В четырехугольнике $AA_1B_1B$ стороны $AB$ и $A_1B_1$ являются противоположными. Так как они одновременно равны и параллельны, то по признаку параллелограмма, четырехугольник $AA_1B_1B$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник AA₁B₁B является параллелограммом.

BB₁C₁C

Рассмотрим четырехугольник $BB_1C_1C$. По условию, параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны, поэтому их соответствующие стороны равны: $BC = B_1C_1$. Также по условию эти стороны параллельны: $BC \parallel B_1C_1$. В четырехугольнике $BB_1C_1C$ противоположные стороны $BC$ и $B_1C_1$ равны и параллельны. Следовательно, по признаку параллелограмма, $BB_1C_1C$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник BB₁C₁C является параллелограммом.

CC₁D₁D

Рассмотрим четырехугольник $CC_1D_1D$. Из равенства параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ следует, что $CD = C_1D_1$. По условию, $CD \parallel C_1D_1$. Противоположные стороны $CD$ и $C_1D_1$ в четырехугольнике $CC_1D_1D$ равны и параллельны. Таким образом, по признаку параллелограмма, $CC_1D_1D$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник CC₁D₁D является параллелограммом.

AA₁D₁D

Рассмотрим четырехугольник $AA_1D_1D$. Из равенства параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ следует, что $AD = A_1D_1$. По условию, $AD \parallel A_1D_1$. Противоположные стороны $AD$ и $A_1D_1$ в четырехугольнике $AA_1D_1D$ равны и параллельны. Следовательно, по признаку параллелограмма, $AA_1D_1D$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник AA₁D₁D является параллелограммом.