Страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Какой из рисунков соответствует указанным правилам? Обоснуйте ответ. От расположения какой точки зависит вид этих тетраэдров?

Рис. 1.21

Рис. 1.22

Рис. 1.23

Рис. 1.24

Рис. 1.25

Какой из рисунков соответствует указанным правилам? Обоснуйте ответ.

Для правильного изображения пространственных фигур, таких как тетраэдр, в проекции на плоскость (рисунке) существуют общепринятые правила. Основные из них:

1. Видимые ребра изображаются сплошными линиями.

2. Невидимые (скрытые от наблюдателя) ребра изображаются штриховыми (пунктирными) линиями.

3. Ракурс (точка обзора) выбирается таким образом, чтобы изображение давало наиболее полное представление о форме объекта, избегая проекций, где вершины или ребра сливаются или накладываются друг на друга неудачным образом.

Проанализируем каждый рисунок с точки зрения этих правил:

• Рис. 1.21: Этот рисунок является проекцией тетраэдра, где основание $ABC$ видно как бы "насквозь". Однако ребра $AC$ и $AB$ показаны невидимыми, а ребро $BC$ - видимым, что создает противоречие. Обычно при таком ракурсе ("взгляд сверху") основание делают видимым, а боковые ребра, идущие от вершины $D$, могут быть частично скрыты. Данное изображение неоднозначно.
• Рис. 1.22: Этот рисунок является наиболее корректным и наглядным изображением тетраэдра. Выбран удачный ракурс, при котором все четыре вершины ($A, B, C, D$) хорошо видны и не перекрывают друг друга. Невидимые ребра ($AC$ и $DC$), которые находятся "за" тетраэдром с точки зрения наблюдателя, правильно показаны штриховыми линиями. Видимые ребра ($AB, BC, AD, BD$) показаны сплошными линиями. Изображение интуитивно понятно и дает хорошее представление о пространственной структуре фигуры.
• Рис. 1.23: На этом рисунке точки $A, C, B$ лежат на одной прямой. Тетраэдр — это многогранник, у которого четыре вершины, и никакие четыре не лежат в одной плоскости. Соответственно, никакие три вершины не могут лежать на одной прямой. Следовательно, этот рисунок не может изображать тетраэдр. Это так называемая "вырожденная" проекция, которая не дает представления об объеме фигуры.
• Рис. 1.24: На этом рисунке все ребра изображены сплошными линиями. Это нарушает правило изображения невидимых ребер. При любом взгляде на непрозрачный тетраэдр часть его ребер будет скрыта от наблюдателя. Такое изображение называют "проволочной моделью", но оно не соответствует стандартным правилам черчения.
• Рис. 1.25: Этот рисунок также представляет тетраэдр, но его ракурс менее удачен, чем на рис. 1.22. Проекция основания $ABC$ выглядит искаженной, напоминая четырехугольник. Сочетание видимых (например, $DA$) и невидимых (например, $AB$) ребер может быть верным для определенного ракурса, но в целом изображение менее наглядно и интуитивно понятно по сравнению с рис. 1.22.

Таким образом, рисунок 1.22 наиболее полно и правильно соответствует правилам изображения пространственных фигур.

Ответ: Указанным правилам соответствует рисунок 1.22. Он наиболее наглядно представляет пространственную форму тетраэдра, корректно используя сплошные линии для видимых ребер и штриховые для невидимых, а также имеет удачный ракурс без вырожденных проекций.

От расположения какой точки зависит вид этих тетраэдров?

Вид тетраэдра (как и любого трехмерного объекта) на двумерной плоскости зависит от положения точки, из которой ведется наблюдение. Эта точка называется точкой обзора или центром проекции.

Когда мы смотрим на объект, наш глаз (или объектив камеры) находится в определенной точке пространства. Лучи света от вершин объекта идут к нашему глазу, и их пересечение с воображаемой картинной плоскостью (например, листом бумаги или экраном) и создает двумерное изображение.

Изменяя положение этой точки обзора — приближаясь, удаляясь, смещаясь вправо, влево, вверх или вниз относительно тетраэдра — мы меняем ракурс. В результате меняется то, какие грани и ребра будут видимыми, а какие — скрытыми, а также меняются их проекционные искажения (размеры и углы на рисунке). Все пять рисунков в задаче являются результатом изображения одного и того же объекта (тетраэдра), но с разных точек обзора.

Ответ: Вид этих тетраэдров зависит от расположения точки наблюдателя (точки обзора) относительно самого тетраэдра. В геометрии эту точку называют центром проекции.

1.3.2. Параллелепипед

Докажите самостоятельно

Пусть равные параллелограммы ABCD и $A_1B_1C_1D_1$ лежат в разных плоскостях и соответствующие стороны параллельны между собой: $AB \parallel A_1B_1$, $AD \parallel A_1D_1$, $BC \parallel B_1C_1$, $CD \parallel C_1D_1$ (рис.1.26). Тогда четырехугольники $AA_1B_1B$, $AA_1D_1D$, $BB_1C_1C$, $CC_1D_1D$ являются параллелограммами, т.е. через них проходит четыре плоскости.

Рис. 1.26

Для доказательства того, что указанные четырехугольники являются параллелограммами, мы воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

В условии задачи дано:

1. $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные параллелограммы. Из этого следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = C_1D_1$, $AD = A_1D_1$.

2. Соответствующие стороны параллельны: $AB \parallel A_1B_1$, $BC \parallel B_1C_1$, $CD \parallel C_1D_1$, $AD \parallel A_1D_1$.

3. Параллелограммы лежат в разных плоскостях.

AA₁B₁B

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. По условию, параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны, что означает равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $AB = A_1B_1$. Также по условию дано, что эти стороны параллельны: $AB \parallel A_1B_1$. В четырехугольнике $AA_1B_1B$ стороны $AB$ и $A_1B_1$ являются противоположными. Так как они одновременно равны и параллельны, то по признаку параллелограмма, четырехугольник $AA_1B_1B$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник AA₁B₁B является параллелограммом.

BB₁C₁C

Рассмотрим четырехугольник $BB_1C_1C$. По условию, параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны, поэтому их соответствующие стороны равны: $BC = B_1C_1$. Также по условию эти стороны параллельны: $BC \parallel B_1C_1$. В четырехугольнике $BB_1C_1C$ противоположные стороны $BC$ и $B_1C_1$ равны и параллельны. Следовательно, по признаку параллелограмма, $BB_1C_1C$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник BB₁C₁C является параллелограммом.

CC₁D₁D

Рассмотрим четырехугольник $CC_1D_1D$. Из равенства параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ следует, что $CD = C_1D_1$. По условию, $CD \parallel C_1D_1$. Противоположные стороны $CD$ и $C_1D_1$ в четырехугольнике $CC_1D_1D$ равны и параллельны. Таким образом, по признаку параллелограмма, $CC_1D_1D$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник CC₁D₁D является параллелограммом.

AA₁D₁D

Рассмотрим четырехугольник $AA_1D_1D$. Из равенства параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ следует, что $AD = A_1D_1$. По условию, $AD \parallel A_1D_1$. Противоположные стороны $AD$ и $A_1D_1$ в четырехугольнике $AA_1D_1D$ равны и параллельны. Следовательно, по признаку параллелограмма, $AA_1D_1D$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник AA₁D₁D является параллелограммом.