Страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие плоскости называются параллельными?

2. Какими свойствами обладают параллельные плоскости?

3. Как могут располагаться две плоскости в пространстве?

4. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей и докажите его.

5. Какими свойствами обладают отрезки параллельных прямых, заключенные параллельными плоскостями?

1. Какие плоскости называются параллельными?

Две плоскости в трехмерном пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Если плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, это обозначается как $\alpha \parallel \beta$. Если плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой. Случай, когда плоскости совпадают, иногда рассматривается как предельный случай параллельности, но обычно под параллельными плоскостями понимают две различные непересекающиеся плоскости.

Ответ: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

2. Какими свойствами обладают параллельные плоскости?

Параллельные плоскости обладают рядом важных свойств, которые описываются следующими теоремами:

1. Свойство существования и единственности: через точку в пространстве, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

2. Свойство пересечения третьей плоскостью: если две параллельные плоскости ($\alpha \parallel \beta$) пересечены третьей плоскостью ($\gamma$), то линии их пересечения параллельны. То есть, если $\alpha \cap \gamma = a$ и $\beta \cap \gamma = b$, то $a \parallel b$.

3. Свойство транзитивности: если две плоскости ($\alpha$ и $\beta$) параллельны третьей плоскости ($\gamma$), то они параллельны между собой. То есть, если $\alpha \parallel \gamma$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \beta$.

4. Свойство отрезков параллельных прямых: отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. (Это свойство подробно разбирается в вопросе 5).

5. Свойство прямой, параллельной плоскости: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Ответ: Основные свойства параллельных плоскостей: 1) через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной; 2) при пересечении третьей плоскостью линии пересечения параллельны; 3) две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.

3. Как могут располагаться две плоскости в пространстве?

Существует два варианта взаимного расположения двух различных плоскостей в пространстве:

1. Плоскости пересекаются. Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, которая является множеством всех их общих точек. Это следует из аксиом стереометрии.

2. Плоскости параллельны. Если две плоскости не имеют ни одной общей точки, они называются параллельными.

Если же плоскости не являются различными, то они совпадают, то есть являются одной и той же плоскостью.

Ответ: Две плоскости в пространстве могут либо пересекаться по прямой, либо быть параллельными (не иметь общих точек).

4. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей и докажите его.

Признак параллельности двух плоскостей (теорема): Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано:

Плоскость $\alpha$, в которой лежат пересекающиеся в точке $M$ прямые $a$ и $b$ ($a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \cap b = M$).

Плоскость $\beta$, в которой лежат прямые $a_1$ и $b_1$ ($a_1 \subset \beta, b_1 \subset \beta$).

При этом $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$.

Доказать: $\alpha \parallel \beta$.

Доказательство (методом от противного):

1. Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Тогда они должны пересекаться по некоторой прямой $c$. То есть, $\alpha \cap \beta = c$.

2. Рассмотрим прямую $a$. Она лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$) и по условию параллельна прямой $a_1$, которая лежит в плоскости $\beta$ ($a_1 \subset \beta$). По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($a$) не лежит в плоскости ($\beta$) и параллельна некоторой прямой ($a_1$) в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Следовательно, $a \parallel \beta$.

3. Аналогично, прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$) и параллельна прямой $b_1$ в плоскости $\beta$ ($b_1 \subset \beta$). Следовательно, $b \parallel \beta$.

4. Мы имеем: плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. При этом мы предположили, что $\alpha$ пересекает $\beta$ по прямой $c$. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения $c$ должна быть параллельна прямой $a$. Таким образом, $c \parallel a$.

5. Аналогично, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $b$, которая параллельна плоскости $\beta$. Значит, линия пересечения $c$ должна быть параллельна прямой $b$. Таким образом, $c \parallel b$.

6. В итоге мы получили, что в плоскости $\alpha$ через точку $M$ проходят две различные прямые, $a$ и $b$, и обе они параллельны одной и той же прямой $c$.

7. Это противоречит аксиоме о параллельных прямых (аксиоме Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

8. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

5. Какими свойствами обладают отрезки параллельных прямых, заключенные параллельными плоскостями?

Свойство (теорема): Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Дано:

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно.

Прямая $b$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно.

Доказать: $A_1A_2 = B_1B_2$.

Доказательство:

1. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, через них можно провести единственную плоскость. Назовем ее $\gamma$.

2. Плоскость $\gamma$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения параллельны.

3. Линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$ — это прямая, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$. Линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$ — это прямая, проходящая через точки $A_2$ и $B_2$. Следовательно, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $A_2B_2$.

4. Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2A_2$, который лежит в плоскости $\gamma$. В этом четырехугольнике:

- Сторона $A_1A_2$ параллельна стороне $B_1B_2$ (по условию, так как они лежат на параллельных прямых $a$ и $b$).

- Сторона $A_1B_1$ параллельна стороне $A_2B_2$ (как доказано в пункте 3).

5. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $A_1B_1B_2A_2$ — параллелограмм.

6. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Следовательно, $A_1A_2 = B_1B_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Практическая работа

1. Принимая в качестве модели плоскости стены, пол и потолок классной комнаты, укажите: 1) все пары параллельных плоскостей; 2) все пары пересекающихся плоскостей и прямые их пересечения.

2. Покажите взаимное расположение параллельных плоскостей с помощью двух книг.

1) все пары параллельных плоскостей
Примем классную комнату за модель прямоугольного параллелепипеда. Его 6 граней являются плоскостями: пол, потолок и четыре стены (передняя, задняя, левая и правая). В прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани параллельны. Таким образом, в классной комнате есть три пары параллельных плоскостей:
- Плоскость пола и плоскость потолка.
- Плоскость передней стены и плоскость задней стены.
- Плоскость левой стены и плоскость правой стены.

Ответ: (пол, потолок); (передняя стена, задняя стена); (левая стена, правая стена).

2) все пары пересекающихся плоскостей и прямые их пересечения
Пересекающимися плоскостями являются любые две смежные грани, которые соприкасаются по общей прямой (ребру). В классной комнате 12 таких пар и, соответственно, 12 прямых пересечения.
Пересечения с плоскостью пола (4 пары):
- Пол и передняя стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и пола (плинтус).
- Пол и задняя стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и пола (плинтус).
- Пол и левая стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и пола (плинтус).
- Пол и правая стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и пола (плинтус).
Пересечения с плоскостью потолка (4 пары):
- Потолок и передняя стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и потолка (потолочный багет).
- Потолок и задняя стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и потолка (потолочный багет).
- Потолок и левая стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и потолка (потолочный багет).
- Потолок и правая стена. Прямая пересечения — линия стыка стены и потолка (потолочный багет).
Пересечения между стенами (4 пары):
- Передняя стена и левая стена. Прямая пересечения — вертикальный угол (стык) комнаты.
- Передняя стена и правая стена. Прямая пересечения — вертикальный угол (стык) комнаты.
- Задняя стена и левая стена. Прямая пересечения — вертикальный угол (стык) комнаты.
- Задняя стена и правая стена. Прямая пересечения — вертикальный угол (стык) комнаты.

Ответ: Всего 12 пар пересекающихся плоскостей. 4 пары пола со стенами (линии пересечения — плинтусы), 4 пары потолка со стенами (линии пересечения — потолочные стыки), 4 пары смежных стен (линии пересечения — вертикальные углы).

2. Чтобы продемонстрировать взаимное расположение параллельных плоскостей с помощью двух книг, нужно представить их обложки как модели плоскостей. Для этого необходимо взять две книги и расположить их в пространстве так, чтобы их большие грани (обложки) были параллельны друг другу. Это означает, что эти плоскости-обложки не пересекаются, а расстояние между ними в любой точке постоянно. Простой способ это сделать — положить одну книгу на стол, а вторую держать над ней, сохраняя её параллельность первой.

Визуальная модель:

В данной демонстрации обложки книг моделируют две параллельные плоскости. В геометрии, если плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, это обозначается как $\alpha \parallel \beta$.

Ответ: Расположить две книги так, чтобы их обложки были параллельны друг другу (например, одну над другой на некотором расстоянии).