Страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Прямая $\text{a}$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Можно ли провести плоскость, проходящую через прямую $\text{a}$ параллельно $\alpha$?

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что такую плоскость, назовем ее $\beta$, провести можно. По условию, эта плоскость должна проходить через прямую $a$ и быть параллельной плоскости $\alpha$.

Это означает, что одновременно выполняются два условия:
1. Прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\beta$, что обозначается как $a \subset \beta$.
2. Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, что обозначается как $\beta \parallel \alpha$.

Из условия задачи нам известно, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $M$. Математически это записывается как $a \cap \alpha = M$.

Поскольку точка $M$ является точкой пересечения, она принадлежит как прямой $a$, так и плоскости $\alpha$. То есть, $M \in a$ и $M \in \alpha$.

Теперь рассмотрим наше предположение. Если прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то все точки прямой $a$, включая точку $M$, также принадлежат и плоскости $\beta$. Следовательно, $M \in \beta$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что точка $M$ является общей точкой для двух плоскостей: она принадлежит плоскости $\alpha$ (по условию) и плоскости $\beta$ (согласно нашему предположению).

Однако, по определению, параллельные плоскости не имеют ни одной общей точки. Если $\beta \parallel \alpha$, то их пересечение должно быть пустым множеством ($\alpha \cap \beta = \emptyset$).

Мы получили противоречие: с одной стороны, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, а с другой стороны, будучи параллельными, они не должны иметь общих точек. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании плоскости $\beta$ было неверным.

Любая плоскость, проходящая через прямую $a$, будет содержать и точку пересечения $M$. А так как точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$, то любая такая плоскость будет пересекать плоскость $\alpha$ (по крайней мере, в точке $M$). Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Следовательно, они не могут быть параллельны.

Ответ: Нет, провести такую плоскость нельзя.

1.51. Необходимо ли, чтобы плоскости $\alpha$ и $\beta$ были параллельны между собой, если две прямые, лежащие в плоскости $\alpha$, параллельны плоскости $\beta$ ? Почему? Обоснуйте ответ.

Нет, не необходимо. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ не обязательно будут параллельны.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны. В условии задачи не сказано, что две прямые ($a$ и $b$), лежащие в плоскости $\alpha$, должны пересекаться. Они могут быть и параллельными.

Если эти две прямые $a$ и $b$ в плоскости $\alpha$ параллельны между собой ($a \parallel b$), то плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут как быть параллельными, так и пересекаться. Приведем контрпример, доказывающий, что параллельность не обязательна.

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $c$.

$ \alpha \cap \beta = c $

В плоскости $\alpha$ выберем две различные прямые $a$ и $b$, которые параллельны прямой их пересечения $c$. В этом случае прямые $a$ и $b$ также будут параллельны между собой.

$ a \subset \alpha, b \subset \alpha $ и $ a \parallel c, b \parallel c $ (следовательно $ a \parallel b $)

Теперь проверим, параллельны ли прямые $a$ и $b$ плоскости $\beta$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Так как прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$), то из $a \parallel c$ следует, что $a \parallel \beta$, и из $b \parallel c$ следует, что $b \parallel \beta$.

Таким образом, мы имеем ситуацию, когда условия задачи выполнены: две прямые ($a$ и $b$), лежащие в плоскости $\alpha$, параллельны плоскости $\beta$. Однако сами плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются. Это доказывает, что параллельность плоскостей не является необходимой.

Данная ситуация проиллюстрирована на рисунке ниже:

На рисунке показаны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Их линия пересечения — прямая $c$. В плоскости $\alpha$ лежат две прямые $a$ и $b$, которые параллельны прямой $c$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\beta$, но при этом плоскость $\alpha$ не параллельна плоскости $\beta$.

Ответ: Нет, не необходимо. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут пересекаться. Это возможно, если две прямые, лежащие в плоскости $\alpha$ и параллельные плоскости $\beta$, параллельны между собой.

1.52. Через середины отрезков $AB$, $AC$ и $AD$, не лежащих в одной плоскости, проведена плоскость $\alpha$. Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $BCD$.

Пусть M, N, и P — середины отрезков AB, AC и AD соответственно. По условию, отрезки AB, AC и AD не лежат в одной плоскости, следовательно, точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости и образуют тетраэдр. Плоскость α, по определению, проходит через точки M, N и P. Необходимо доказать, что плоскость α (плоскость MNP) параллельна плоскости BCD.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как M — середина отрезка $AB$ и N — середина отрезка $AC$, то отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, прямая $MN$ параллельна прямой $BC$ ($MN \parallel BC$).

Аналогично рассмотрим треугольник $ACD$. Так как N — середина отрезка $AC$ и P — середина отрезка $AD$, то отрезок $NP$ является средней линией треугольника $ACD$. По свойству средней линии, прямая $NP$ параллельна прямой $CD$ ($NP \parallel CD$).

Прямые $MN$ и $NP$ лежат в плоскости α и пересекаются в точке N (они не могут быть параллельны или совпадать, так как в противном случае точки B, C, D лежали бы на одной прямой, что невозможно для тетраэдра). Прямые $BC$ и $CD$ лежат в плоскости $BCD$ и пересекаются в точке C.

Таким образом, две пересекающиеся прямые ($MN$ и $NP$) в плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CD$) в плоскости $BCD$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следовательно, плоскость α параллельна плоскости $BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Доказательство основано на признаке параллельности двух плоскостей. Средняя линия $MN$ треугольника $ABC$ параллельна $BC$, а средняя линия $NP$ треугольника $ACD$ параллельна $CD$. Так как две пересекающиеся прямые $MN$ и $NP$ в плоскости α параллельны двум пересекающимся прямым $BC$ и $CD$ в плоскости $BCD$, то плоскости α и $BCD$ параллельны.

1.53. Параллельные плоскости пересекают сторону $OA$ угла $AOB$ в точках $C$ и $C_1$, а сторону $OB$ – в точках $D$ и $D_1$ соответственно. При этом $OC = 6$ см, $OC_1 = 10$ см. Найдите:

1) $CD$, если $C_1D_1 = 15$ см;

2) $DD_1$, если $OD = 9$ см.

По условию задачи, стороны угла AOB пересекаются двумя параллельными плоскостями. Прямые OA и OB, образующие угол, задают плоскость (назовем ее плоскостью AOB).

Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. В нашем случае, плоскость AOB пересекает две параллельные плоскости по прямым CD и C₁D₁. Следовательно, отрезки $CD$ и $C₁D₁$ параллельны ($CD \parallel C₁D₁$).

Это означает, что треугольники $\triangle OCD$ и $\triangle OC₁D₁$ подобны. Они подобны по двум углам:

1. Угол $\angle AOB$ (или $\angle COD$) у них общий.

2. Углы $\angle OCD$ и $\angle OC₁D₁$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $CD$ и $C₁D₁$ и секущей $OA$.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны: $ \frac{OC}{OC₁} = \frac{OD}{OD₁} = \frac{CD}{C₁D₁} $

Из условия известны длины отрезков: $OC = 6$ см и $OC₁ = 10$ см.

Воспользуемся пропорцией, связывающей стороны $OC$, $OC₁$, $CD$ и $C₁D₁$: $ \frac{OC}{OC₁} = \frac{CD}{C₁D₁} $

Подставляем известные значения в формулу: $ \frac{6}{10} = \frac{CD}{15} $

Теперь находим $CD$: $ CD = 15 \cdot \frac{6}{10} = \frac{90}{10} = 9 $ см.

Ответ: 9 см.

Для нахождения длины отрезка $DD₁$ нам сначала нужно найти длину отрезка $OD₁$. Используем ту же пропорцию подобия: $ \frac{OC}{OC₁} = \frac{OD}{OD₁} $

Подставляем известные значения: $ \frac{6}{10} = \frac{9}{OD₁} $

Выражаем и находим $OD₁$: $ OD₁ = \frac{9 \cdot 10}{6} = \frac{90}{6} = 15 $ см.

Отрезок $DD₁$ является разностью длин отрезков $OD₁$ и $OD$ (так как точки D и D₁ лежат на одном луче OB, а из соотношения $OC < OC₁$ следует, что $OD < OD₁$): $ DD₁ = OD₁ - OD = 15 - 9 = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

1.54. Квадрат $ABCD$ со стороной, равной 10 см, и точка $O$ не лежат в одной плоскости. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются серединами отрезков $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ лежат в плоскости, параллельной плоскости квадрата $ABCD$.

2) Найдите периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$.

Для наглядности представим геометрическую ситуацию в виде рисунка, где $ABCD$ — квадрат в одной плоскости, а точка $O$ находится вне этой плоскости, образуя пирамиду $OABCD$. Точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются серединами боковых ребер пирамиды.

1) Докажите, что точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ лежат в плоскости, параллельной плоскости квадрата $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $OAB$. По условию, точка $A_1$ является серединой отрезка $OA$, а точка $B_1$ – серединой отрезка $OB$. Следовательно, отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $OAB$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $A_1B_1 \parallel AB$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости квадрата $(ABC)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $A_1B_1$ параллельна плоскости $(ABC)$.

Аналогично рассмотрим треугольник $OAD$. Точки $A_1$ и $D_1$ являются серединами сторон $OA$ и $OD$ соответственно. Значит, $A_1D_1$ – средняя линия треугольника $OAD$. Отсюда следует, что $A_1D_1 \parallel AD$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и прямая $A_1D_1$ параллельна плоскости $(ABC)$.

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся в точке $A_1$ прямые $A_1B_1$ и $A_1D_1$, которые определяют плоскость $(A_1B_1D_1)$ (в которой также лежат точки $C_1$ и $D_1$), и каждая из этих прямых параллельна плоскости $(ABC)$. По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости $(ABC)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите периметр четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$.

Для нахождения периметра четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ необходимо найти длины его сторон. Из доказательства в пункте 1 мы знаем, что стороны этого четырехугольника являются средними линиями соответствующих треугольников с общей вершиной $O$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.

В треугольнике $OAB$: $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

В треугольнике $OBC$: $B_1C_1 = \frac{1}{2}BC$.

В треугольнике $OCD$: $C_1D_1 = \frac{1}{2}CD$.

В треугольнике $ODA$: $D_1A_1 = \frac{1}{2}DA$.

По условию, $ABCD$ – это квадрат со стороной 10 см, значит $AB = BC = CD = DA = 10$ см.

Тогда длины сторон четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равны:

$A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1 = D_1A_1 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} = 5$ см.

Поскольку все стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равны, его периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 4 \times (\text{длина стороны})$.

$P_{A_1B_1C_1D_1} = 4 \times 5 \text{ см} = 20$ см.

Ответ: 20 см.

1.55. На рис. 1.36 $PQ \neq MN$, $\alpha \parallel \beta$. Верно ли, что $PQ \parallel MN$? Почему?

Рис. 1.36

Нет, утверждение о том, что $PQ \parallel MN$, неверно.

Почему?
Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что отрезки $PQ$ и $MN$ параллельны, то есть $PQ \parallel MN$.
Если две прямые параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. В этой плоскости будут лежать все четыре точки: $P, Q, M, N$.
По условию, точки $P$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $PM$, проходящая через эти точки, также лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, точки $Q$ и $N$ принадлежат плоскости $\beta$, значит, прямая $QN$ лежит в плоскости $\beta$.
Поскольку точки $P, M$ лежат в $\gamma$ и в $\alpha$, то прямая $PM$ является линией пересечения этих плоскостей. Точно так же прямая $QN$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$.
В задаче дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. В нашем случае это означает, что $PM \parallel QN$.
Теперь рассмотрим четырехугольник $PQNM$, который целиком лежит в плоскости $\gamma$. Мы получили, что у него противолежащие стороны попарно параллельны: $PQ \parallel MN$ (согласно нашему предположению) и $PM \parallel QN$ (согласно доказанному следствию). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
Одним из главных свойств параллелограмма является равенство длин его противолежащих сторон. Отсюда следует, что должно выполняться равенство $PQ = MN$.
Однако это заключение вступает в прямое противоречие с условием задачи, где сказано, что $PQ \ne MN$.
Так как наше первоначальное предположение привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, отрезки $PQ$ и $MN$ не могут быть параллельны. В общем случае они являются скрещивающимися прямыми.

Ответ: Нет, неверно.

1.56. Известно, что $\angle BAD=\angle B_1A_1D$, а $\angle CBD=\angle C_1B_1D$ (рис. 1.37).

1) Докажите, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны;

2) Найдите $AB$, если $AA_1:A_1D=2:3$ и $A_1B_1=2$ см.

Рис. 1.37

1) Докажите, что плоскости ABC и A₁B₁C₁ параллельны;

Для доказательства параллельности плоскостей $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Рассмотрим прямые $AB$ и $A_1B_1$. Обе они лежат в плоскости $DAB$. По условию дано, что $\angle BAD = \angle B_1A_1D$. Эти углы являются соответственными при прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AD$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $AB \parallel A_1B_1$.

Рассмотрим прямые $BC$ и $B_1C_1$. Обе они лежат в плоскости $DBC$. По условию дано, что $\angle CBD = \angle C_1B_1D$. Эти углы являются соответственными при прямых $BC$ и $B_1C_1$ и секущей $BD$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $BC \parallel B_1C_1$.

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся прямые $AB$ и $BC$ в плоскости $ABC$ ($AB \cap BC = B$), которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в плоскости $A_1B_1C_1$ ($A_1B_1 \cap B_1C_1 = B_1$).

Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $ABC$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

2) Найдите AB, если AA₁:A₁D = 2:3 и A₁B₁ = 2 см.

Рассмотрим треугольник $DAB$. Так как $A_1$ лежит на отрезке $DA$ и $B_1$ лежит на отрезке $DB$, и из пункта 1 мы доказали, что $A_1B_1 \parallel AB$, то треугольник $DA_1B_1$ подобен треугольнику $DAB$ по двум углам (угол при вершине $D$ у них общий, а $\angle DA_1B_1 = \angle DAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$ и секущей $AD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB} = \frac{A_1B_1}{AB} $

Найдем коэффициент подобия $k = \frac{DA_1}{DA}$. По условию дано отношение $AA_1:A_1D = 2:3$. Это означает, что отрезок $AA_1$ можно представить как $2x$, а отрезок $A_1D$ — как $3x$, где $x$ — некоторая общая мера длины.

Тогда вся длина отрезка $DA$ будет равна сумме длин его частей: $ DA = AA_1 + A_1D = 2x + 3x = 5x $

Теперь найдем отношение длин сторон $DA_1$ и $DA$: $ \frac{DA_1}{DA} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $

Подставим известные значения в пропорцию из подобия треугольников: $ \frac{3}{5} = \frac{A_1B_1}{AB} $ $ \frac{3}{5} = \frac{2}{AB} $

Выразим из этой пропорции искомую сторону $AB$: $ 3 \cdot AB = 5 \cdot 2 $ $ 3 \cdot AB = 10 $ $ AB = \frac{10}{3} $ см.

Ответ: $AB = \frac{10}{3}$ см или $3\frac{1}{3}$ см.

1.57. Плоскости ABC и $A_1B_1C_1$ параллельны и $DA_1 : A_1A = 1 : 1$ (рис. 1.37).

1) Докажите, что $AB \parallel A_1B_1, AC \parallel A_1C_1, BC \parallel B_1C_1$.

2) Найдите AD, если $AA_1 = 2 \text{ см}$.

Рис. 1.37

1) По условию задачи плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны. Рассмотрим плоскость $DAB$. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Линией пересечения плоскости $DAB$ с плоскостью $ABC$ является прямая $AB$. Линией пересечения плоскости $DAB$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ является прямая $A_1B_1$. Следовательно, $AB \parallel A_1B_1$.
Аналогично, рассматривая плоскость $DAC$, которая пересекает плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по прямым $AC$ и $A_1C_1$ соответственно, получаем, что $AC \parallel A_1C_1$.
Таким же образом, рассматривая плоскость $DBC$, которая пересекает плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по прямым $BC$ и $B_1C_1$ соответственно, получаем, что $BC \parallel B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что $AB \parallel A_1B_1$, $AC \parallel A_1C_1$ и $BC \parallel B_1C_1$.

2) По условию задачи дано соотношение $DA_1 : A_1A = 1 : 1$. Это означает, что длины отрезков $DA_1$ и $A_1A$ равны: $DA_1 = A_1A$. Также по условию $A_1A = 2 \text{ см}$. Следовательно, $DA_1 = 2 \text{ см}$. Точка $A_1$ лежит на отрезке $AD$, поэтому длина отрезка $AD$ является суммой длин его частей $DA_1$ и $A_1A$.
$AD = DA_1 + A_1A = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Ответ: $AD = 4 \text{ см}$.

1.58. Прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей. Покажите, что эта прямая пересекает и вторую плоскость.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$) и прямая $a$, которая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$ ($a \cap \alpha = \{M\}$). Требуется доказать, что прямая $a$ пересекает и плоскость $\beta$.

Доказательство

Будем доказывать методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$. Если прямая не пересекает плоскость, то она либо лежит в этой плоскости, либо параллельна ей.

1. Рассмотрим случай, когда прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Поскольку по условию прямая $a$ проходит через точку $M$, то точка $M$ также должна принадлежать плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). Но по условию $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, что противоречит их параллельности ($\alpha \parallel \beta$). Следовательно, этот случай невозможен.

2. Рассмотрим случай, когда прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$). Мы имеем следующие условия:

• Прямая $a$ проходит через точку $M$ ($M \in a$).
• Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ ($M \in \alpha$).
• Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ (наше предположение).
• Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ (по условию).

Согласно аксиоме стереометрии, через точку в пространстве (в нашем случае $M$), не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Поскольку $M \in \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$, плоскость $\alpha$ является той единственной плоскостью, проходящей через $M$ и параллельной $\beta$.

Существует также теорема: все прямые, проходящие через данную точку и параллельные данной плоскости, лежат в одной плоскости, которая сама параллельна данной плоскости. В нашем случае все прямые, проходящие через точку $M$ и параллельные плоскости $\beta$, должны лежать в плоскости $\alpha$.

По нашему предположению, прямая $a$ проходит через $M$ и параллельна $\beta$. Следовательно, прямая $a$ должна лежать в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Однако это противоречит исходному условию, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Понятие "пересекает" в геометрии означает, что прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку. Если бы прямая $a$ лежала в плоскости $\alpha$, они имели бы бесконечное множество общих точек.

Таким образом, наше предположение о том, что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$, привело к противоречию. Следовательно, оно неверно, и прямая $a$ обязана пересекать плоскость $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она обязательно пересекает и вторую плоскость.

1.59. Докажите, что если $\alpha \parallel \beta$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \gamma$, где $\alpha, \beta, \gamma$ – плоскости.

Это свойство, известное как транзитивность параллельности плоскостей, доказывается методом от противного.

Дано:
$ \alpha, \beta, \gamma $ — три различные плоскости.
$ \alpha \parallel \beta $ (плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $).
$ \beta \parallel \gamma $ (плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $).

Доказать:
$ \alpha \parallel \gamma $ (плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $).

Доказательство:

Предположим, что утверждение неверно, то есть плоскость $ \alpha $ не параллельна плоскости $ \gamma $. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ m $.
$ \alpha \cap \gamma = m $

Выберем на прямой $ m $ произвольную точку $ A $. Поскольку прямая $ m $ принадлежит одновременно и плоскости $ \alpha $, и плоскости $ \gamma $, то точка $ A $ также принадлежит обеим этим плоскостям: $ A \in \alpha $ и $ A \in \gamma $.

Теперь воспользуемся данными из условия задачи:
1. Нам дано, что $ \alpha \parallel \beta $. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек. Так как точка $ A $ принадлежит плоскости $ \alpha $, она не может принадлежать плоскости $ \beta $. Таким образом, $ A \notin \beta $.
2. Нам дано, что $ \beta \parallel \gamma $. Это означает, что плоскость $ \gamma $ параллельна плоскости $ \beta $ (свойство симметричности параллельности).

В результате мы приходим к следующей ситуации: через точку $ A $, которая не лежит в плоскости $ \beta $, проходят две различные плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ (они различны, так как по нашему предположению они пересекаются, а не совпадают). При этом каждая из этих плоскостей ($ \alpha $ и $ \gamma $) параллельна плоскости $ \beta $.

Это утверждение напрямую противоречит теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной. Эта теорема гласит: через точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение (о том, что $ \alpha $ и $ \gamma $ пересекаются) было ложным. Следовательно, плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не могут пересекаться, а значит, они параллельны.

Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение о том, что если плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $, а плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $, то плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $, доказано.