Номер 1.51, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.51. Необходимо ли, чтобы плоскости $\alpha$ и $\beta$ были параллельны между собой, если две прямые, лежащие в плоскости $\alpha$, параллельны плоскости $\beta$ ? Почему? Обоснуйте ответ.

Нет, не необходимо. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ не обязательно будут параллельны.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны. В условии задачи не сказано, что две прямые ($a$ и $b$), лежащие в плоскости $\alpha$, должны пересекаться. Они могут быть и параллельными.

Если эти две прямые $a$ и $b$ в плоскости $\alpha$ параллельны между собой ($a \parallel b$), то плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут как быть параллельными, так и пересекаться. Приведем контрпример, доказывающий, что параллельность не обязательна.

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $c$.

$ \alpha \cap \beta = c $

В плоскости $\alpha$ выберем две различные прямые $a$ и $b$, которые параллельны прямой их пересечения $c$. В этом случае прямые $a$ и $b$ также будут параллельны между собой.

$ a \subset \alpha, b \subset \alpha $ и $ a \parallel c, b \parallel c $ (следовательно $ a \parallel b $)

Теперь проверим, параллельны ли прямые $a$ и $b$ плоскости $\beta$. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Так как прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$), то из $a \parallel c$ следует, что $a \parallel \beta$, и из $b \parallel c$ следует, что $b \parallel \beta$.

Таким образом, мы имеем ситуацию, когда условия задачи выполнены: две прямые ($a$ и $b$), лежащие в плоскости $\alpha$, параллельны плоскости $\beta$. Однако сами плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются. Это доказывает, что параллельность плоскостей не является необходимой.

Данная ситуация проиллюстрирована на рисунке ниже:

На рисунке показаны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Их линия пересечения — прямая $c$. В плоскости $\alpha$ лежат две прямые $a$ и $b$, которые параллельны прямой $c$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\beta$, но при этом плоскость $\alpha$ не параллельна плоскости $\beta$.

Ответ: Нет, не необходимо. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут пересекаться. Это возможно, если две прямые, лежащие в плоскости $\alpha$ и параллельные плоскости $\beta$, параллельны между собой.