Номер 1.48, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. Найдите геометрическое место (множество) всех прямых, параллельных прямой $a$ и пересекающих прямую $b$, причем $b \not\parallel a$.

Для решения задачи нам нужно найти множество всех прямых (обозначим произвольную прямую из этого множества как $l$), которые удовлетворяют двум условиям:

1. Прямая $l$ параллельна данной прямой $a$ (записывается как $l \parallel a$).

2. Прямая $l$ пересекает данную прямую $b$.

При этом известно, что прямые $a$ и $b$ не параллельны друг другу ($a \nparallel b$). Это означает, что прямые $a$ и $b$ могут либо пересекаться, либо скрещиваться. Рассмотрим оба этих варианта.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Если две прямые пересекаются, они задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\Pi$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\Pi$.

Рассмотрим любую прямую $l$ из искомого множества. По условию, она должна пересекать прямую $b$ в некоторой точке $P$. Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $b$, она также принадлежит и плоскости $\Pi$. Кроме того, прямая $l$ должна быть параллельна прямой $a$. Так как прямая $l$ проходит через точку $P \in \Pi$ и параллельна прямой $a$, которая также лежит в $\Pi$, то вся прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\Pi$.

Следовательно, все прямые, удовлетворяющие условиям, находятся в плоскости $\Pi$. Множество всех прямых в плоскости $\Pi$, параллельных прямой $a$, и будет искомым множеством. Это множество прямых полностью покрывает всю плоскость $\Pi$. Таким образом, геометрическое место точек, принадлежащих этим прямым, есть сама плоскость $\Pi$.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ скрещиваются.

Если прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то через прямую $b$ можно провести единственную плоскость $\Pi$, параллельную прямой $a$. Для построения такой плоскости можно взять любую точку на прямой $b$ и провести через нее прямую, параллельную $a$. Эта новая прямая и прямая $b$ пересекаются и задают плоскость $\Pi$.

Докажем, что эта плоскость $\Pi$ и есть искомое геометрическое место, образованное совокупностью всех прямых $l$.

1. Возьмем любую прямую $l$ из искомого множества. Она параллельна $a$ ($l \parallel a$) и пересекает $b$ в некоторой точке $P$. Так как $P$ лежит на $b$, то $P$ принадлежит плоскости $\Pi$. Прямая $l$ проходит через точку $P \in \Pi$ и параллельна прямой $a$. Поскольку плоскость $\Pi$ по построению параллельна прямой $a$, то вся прямая $l$ должна лежать в плоскости $\Pi$.

2. Теперь возьмем любую точку $Q$ в плоскости $\Pi$ и проведем через нее прямую $l'$ параллельно прямой $a$. Так как $Q \in \Pi$ и $\Pi \parallel a$, прямая $l'$ целиком лежит в плоскости $\Pi$. Прямые $l'$ и $b$ обе лежат в одной плоскости $\Pi$. Они не могут быть параллельны, так как в противном случае прямая $b$ была бы параллельна $l'$, а значит и $a$ ($b \parallel l' \parallel a$), что противоречит условию задачи ($a \nparallel b$). Так как $l'$ и $b$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются. Это означает, что прямая $l'$ удовлетворяет условиям задачи и принадлежит искомому множеству.

Таким образом, любая точка плоскости $\Pi$ принадлежит одной из прямых искомого множества, и все эти прямые лежат в $\Pi$.

Общий вывод

В обоих случаях — и для пересекающихся, и для скрещивающихся прямых $a$ и $b$ — объединение всех прямых, параллельных $a$ и пересекающих $b$, образует одну и ту же геометрическую фигуру. Это плоскость, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$.

На рисунке показан случай скрещивающихся прямых. Плоскость $\Pi$ содержит прямую $b$ и параллельна прямой $a$. Штриховыми линиями показаны некоторые из прямых искомого множества. Они все лежат в плоскости $\Pi$, параллельны $a$ и пересекают $b$. Совокупность всех таких прямых заполняет всю плоскость $\Pi$.

Ответ: Искомое геометрическое место прямых есть множество всех прямых, лежащих в плоскости, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$. Это множество прямых образует (заполняет) указанную плоскость.