Номер 1.47, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.47. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом прямого доказательства, основанным на аксиомах и теоремах стереометрии.

Дано:
Две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$).
Плоскость $\alpha$, которая пересекает прямую $a$ в точке $M$. ($a \cap \alpha = M$).
Доказать:
Плоскость $\alpha$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Рассмотрим два случая взаимного расположения прямой $a$ и плоскости $\alpha$.

1. Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке.

По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, существует единственная плоскость $\beta$, в которой лежат обе прямые $a$ и $b$. То есть, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

По условию, плоскость $\alpha$ пересекает прямую $a$ в точке $M$. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). Поскольку точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, она является общей точкой для этих двух плоскостей.

Если две плоскости ($\alpha$ и $\beta$) имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Все точки прямой $c$ принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. Точка $M$ лежит на этой прямой ($M \in c$).

Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В этой плоскости лежат две параллельные прямые $a$ и $b$, а также прямая $c$. Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$ (по построению).

Из планиметрии известно, что если на плоскости прямая ($c$) пересекает одну из двух параллельных прямых ($a$), то она пересекает и вторую ($b$). Это следует из аксиомы параллельных прямых. Обозначим точку пересечения прямых $b$ и $c$ как $N$. Итак, $N = b \cap c$.

Поскольку прямая $c$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$), то и точка $N$, принадлежащая прямой $c$, также лежит в плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$).

Таким образом, мы нашли точку $N$, которая одновременно принадлежит и прямой $b$, и плоскости $\alpha$. Это означает, что плоскость $\alpha$ пересекает прямую $b$ в точке $N$.

2. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ параллельна прямой $a$, то для прямой $b$ и плоскости $\alpha$ возможны два варианта (согласно признаку параллельности прямой и плоскости):

1) Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. В этом случае она не пересекает плоскость $\alpha$.
2) Прямая $b$ также лежит в плоскости $\alpha$. В этом случае она пересекает плоскость (имеет с ней бесконечно много общих точек).

Формулировка задачи "плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых", как правило, подразумевает пересечение в одной точке (случай 1). Если же допускать, что прямая может лежать в плоскости, то утверждение не всегда верно, так как возможен случай, когда $a \subset \alpha$, а $b \parallel \alpha$ и $b \not\subset \alpha$. Однако, если доказать, что такой случай невозможен, то теорема верна и для этого варианта. Докажем от противного: предположим, что $a \subset \alpha$, $a \parallel b$ и $b \parallel \alpha$. Но через параллельные прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость $\beta$. Тогда плоскость $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Если $b \parallel \alpha$, то $b$ должна быть параллельна линии пересечения $a$. Но по условию $b \parallel a$. Это не приводит к противоречию. Следовательно, стандартная трактовка "пересекает" как "имеет одну общую точку" является ключевой. При такой трактовке доказательство, приведенное в пункте 1, является полным.

Ответ: Утверждение доказано при стандартном понимании термина "пересекает" как наличие единственной общей точки. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых в одной точке, то она обязательно пересекает и вторую прямую.