Номер 1.50, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Прямая $\text{a}$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Можно ли провести плоскость, проходящую через прямую $\text{a}$ параллельно $\alpha$?

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что такую плоскость, назовем ее $\beta$, провести можно. По условию, эта плоскость должна проходить через прямую $a$ и быть параллельной плоскости $\alpha$.

Это означает, что одновременно выполняются два условия:
1. Прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\beta$, что обозначается как $a \subset \beta$.
2. Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, что обозначается как $\beta \parallel \alpha$.

Из условия задачи нам известно, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $M$. Математически это записывается как $a \cap \alpha = M$.

Поскольку точка $M$ является точкой пересечения, она принадлежит как прямой $a$, так и плоскости $\alpha$. То есть, $M \in a$ и $M \in \alpha$.

Теперь рассмотрим наше предположение. Если прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то все точки прямой $a$, включая точку $M$, также принадлежат и плоскости $\beta$. Следовательно, $M \in \beta$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что точка $M$ является общей точкой для двух плоскостей: она принадлежит плоскости $\alpha$ (по условию) и плоскости $\beta$ (согласно нашему предположению).

Однако, по определению, параллельные плоскости не имеют ни одной общей точки. Если $\beta \parallel \alpha$, то их пересечение должно быть пустым множеством ($\alpha \cap \beta = \emptyset$).

Мы получили противоречие: с одной стороны, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, а с другой стороны, будучи параллельными, они не должны иметь общих точек. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании плоскости $\beta$ было неверным.

Любая плоскость, проходящая через прямую $a$, будет содержать и точку пересечения $M$. А так как точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$, то любая такая плоскость будет пересекать плоскость $\alpha$ (по крайней мере, в точке $M$). Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Следовательно, они не могут быть параллельны.

Ответ: Нет, провести такую плоскость нельзя.