Номер 1.53, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.53. Параллельные плоскости пересекают сторону $OA$ угла $AOB$ в точках $C$ и $C_1$, а сторону $OB$ – в точках $D$ и $D_1$ соответственно. При этом $OC = 6$ см, $OC_1 = 10$ см. Найдите:

1) $CD$, если $C_1D_1 = 15$ см;

2) $DD_1$, если $OD = 9$ см.

По условию задачи, стороны угла AOB пересекаются двумя параллельными плоскостями. Прямые OA и OB, образующие угол, задают плоскость (назовем ее плоскостью AOB).

Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. В нашем случае, плоскость AOB пересекает две параллельные плоскости по прямым CD и C₁D₁. Следовательно, отрезки $CD$ и $C₁D₁$ параллельны ($CD \parallel C₁D₁$).

Это означает, что треугольники $\triangle OCD$ и $\triangle OC₁D₁$ подобны. Они подобны по двум углам:

1. Угол $\angle AOB$ (или $\angle COD$) у них общий.

2. Углы $\angle OCD$ и $\angle OC₁D₁$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $CD$ и $C₁D₁$ и секущей $OA$.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны: $ \frac{OC}{OC₁} = \frac{OD}{OD₁} = \frac{CD}{C₁D₁} $

Из условия известны длины отрезков: $OC = 6$ см и $OC₁ = 10$ см.

Воспользуемся пропорцией, связывающей стороны $OC$, $OC₁$, $CD$ и $C₁D₁$: $ \frac{OC}{OC₁} = \frac{CD}{C₁D₁} $

Подставляем известные значения в формулу: $ \frac{6}{10} = \frac{CD}{15} $

Теперь находим $CD$: $ CD = 15 \cdot \frac{6}{10} = \frac{90}{10} = 9 $ см.

Ответ: 9 см.

Для нахождения длины отрезка $DD₁$ нам сначала нужно найти длину отрезка $OD₁$. Используем ту же пропорцию подобия: $ \frac{OC}{OC₁} = \frac{OD}{OD₁} $

Подставляем известные значения: $ \frac{6}{10} = \frac{9}{OD₁} $

Выражаем и находим $OD₁$: $ OD₁ = \frac{9 \cdot 10}{6} = \frac{90}{6} = 15 $ см.

Отрезок $DD₁$ является разностью длин отрезков $OD₁$ и $OD$ (так как точки D и D₁ лежат на одном луче OB, а из соотношения $OC < OC₁$ следует, что $OD < OD₁$): $ DD₁ = OD₁ - OD = 15 - 9 = 6 $ см.

Ответ: 6 см.