Номер 1.58, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58. Прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей. Покажите, что эта прямая пересекает и вторую плоскость.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$) и прямая $a$, которая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$ ($a \cap \alpha = \{M\}$). Требуется доказать, что прямая $a$ пересекает и плоскость $\beta$.

Доказательство

Будем доказывать методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$. Если прямая не пересекает плоскость, то она либо лежит в этой плоскости, либо параллельна ей.

1. Рассмотрим случай, когда прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Поскольку по условию прямая $a$ проходит через точку $M$, то точка $M$ также должна принадлежать плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). Но по условию $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, что противоречит их параллельности ($\alpha \parallel \beta$). Следовательно, этот случай невозможен.

2. Рассмотрим случай, когда прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$). Мы имеем следующие условия:

• Прямая $a$ проходит через точку $M$ ($M \in a$).
• Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ ($M \in \alpha$).
• Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ (наше предположение).
• Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ (по условию).

Согласно аксиоме стереометрии, через точку в пространстве (в нашем случае $M$), не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Поскольку $M \in \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$, плоскость $\alpha$ является той единственной плоскостью, проходящей через $M$ и параллельной $\beta$.

Существует также теорема: все прямые, проходящие через данную точку и параллельные данной плоскости, лежат в одной плоскости, которая сама параллельна данной плоскости. В нашем случае все прямые, проходящие через точку $M$ и параллельные плоскости $\beta$, должны лежать в плоскости $\alpha$.

По нашему предположению, прямая $a$ проходит через $M$ и параллельна $\beta$. Следовательно, прямая $a$ должна лежать в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Однако это противоречит исходному условию, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Понятие "пересекает" в геометрии означает, что прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку. Если бы прямая $a$ лежала в плоскости $\alpha$, они имели бы бесконечное множество общих точек.

Таким образом, наше предположение о том, что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$, привело к противоречию. Следовательно, оно неверно, и прямая $a$ обязана пересекать плоскость $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она обязательно пересекает и вторую плоскость.