Номер 1.61, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$: $\alpha \cap \gamma = a$, $\beta \cap \gamma = b$, $a \parallel b$. Можно ли утверждать, что $\alpha \parallel \beta$? Почему? Обоснуйте ответ.

Нет, утверждать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, на основании данных условий нельзя. Плоскости могут как быть параллельными, так и пересекаться.

Рассмотрим оба возможных случая взаимного расположения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

1. Случай, когда плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае, если предположить, что $\alpha \parallel \beta$, то при пересечении их плоскостью $\gamma$ линии пересечения $a$ и $b$ будут параллельны ($a \parallel b$). Это полностью соответствует условию задачи. Таким образом, параллельность плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является одним из возможных вариантов.

2. Случай, когда плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.
Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются по некоторой прямой $c$. То есть, $\alpha \cap \beta = c$.По условию задачи, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$ ($\alpha \cap \gamma = a$) и плоскость $\beta$ по прямой $b$ ($\beta \cap \gamma = b$), причем дано, что $a \parallel b$.Мы имеем три плоскости ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$), которые попарно пересекаются по трем прямым ($a$, $b$, $c$).Согласно теореме о трех пересекающихся плоскостях, если три плоскости попарно пересекаются, то их линии пересечения либо все пересекаются в одной точке, либо параллельны друг другу.Поскольку по условию прямые $a$ и $b$ параллельны, они не могут пересекаться. Следовательно, вариант, при котором все три прямые ($a, b, c$) пересекаются в одной точке, исключен.Значит, остается только вторая возможность: все три линии пересечения параллельны, то есть $a \parallel b \parallel c$.Это доказывает, что ситуация, в которой плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, также полностью соответствует условиям задачи ($a \parallel b$).

Ниже приведена иллюстрация этого случая. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ (как страницы открытой книги) пересекаются по прямой $c$ (переплет). Плоскость $\gamma$ пересекает их так, что линии пересечения $a$ и $b$ параллельны друг другу и прямой $c$.

Вывод: Поскольку данные условия задачи ($ \alpha \cap \gamma = a, \beta \cap \gamma = b, a \parallel b $) выполняются как для параллельных, так и для пересекающихся плоскостей $\alpha$ и $\beta$, сделать однозначный вывод об их параллельности невозможно.

Ответ: Утверждать, что $\alpha \parallel \beta$, нельзя, так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут пересекаться. Это произойдет в том случае, если линия их пересечения $c$ будет параллельна прямым $a$ и $b$.