Номер 1.66, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Покажите, что найдется только одна пара плоскостей $\alpha$ и $\beta$, которые параллельны между собой и каждая из которых проходит через одну из скрещивающихся прямых $a$ и $b$.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Требуется доказать, что существует, и притом только одна, пара параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$ таких, что $a \subset \alpha$ и $b \subset \beta$.

Доказательство разобьём на две части: доказательство существования и доказательство единственности.

Сначала докажем, что такая пара плоскостей существует. Для этого выполним построение.

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$. Через точку $A$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно, прямая $a$ и построенная прямая $b'$ пересекаются в точке $A$. Две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ однозначно задают плоскость. Назовём эту плоскость $\alpha$. По построению, прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Также, поскольку $b' \subset \alpha$ и $b' \parallel b$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

2. Аналогично, выберем на прямой $b$ произвольную точку $B$. Через точку $B$ проведём прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Прямые $b$ и $a'$ пересекаются в точке $B$ и задают единственную плоскость $\beta$. По построению, $b \subset \beta$. Так как $a' \subset \beta$ и $a' \parallel a$, то прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

3. Теперь докажем, что построенные плоскости параллельны, то есть $\alpha \parallel \beta$. Плоскость $\alpha$ определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b'$. Плоскость $\beta$ определяется пересекающимися прямыми $b$ и $a'$. По построению мы имеем: $a \parallel a'$ и $b' \parallel b$. Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ в плоскости $\alpha$ параллельны соответственно пересекающимся прямым $a'$ и $b$ в плоскости $\beta$. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$.

Таким образом, мы построили пару плоскостей $\alpha$ и $\beta$, которые параллельны между собой, и при этом $a \subset \alpha$ и $b \subset \beta$. Существование доказано.

Теперь докажем, что такая пара плоскостей единственна. Предположим, что существует другая пара параллельных плоскостей $\alpha_1$ и $\beta_1$, для которой выполнены условия: $a \subset \alpha_1$, $b \subset \beta_1$ и $\alpha_1 \parallel \beta_1$.

Рассмотрим плоскость $\alpha_1$. По условию, она содержит прямую $a$. Так как $\alpha_1 \parallel \beta_1$ и $b \subset \beta_1$, то по свойству параллельных плоскостей, любая прямая в одной плоскости параллельна другой плоскости. Следовательно, $b \parallel \alpha_1$. Таким образом, $\alpha_1$ – это плоскость, которая проходит через прямую $a$ и параллельна скрещивающейся с ней прямой $b$. По теореме о существовании и единственности такой плоскости, она только одна. Построенная нами в первой части плоскость $\alpha$ также удовлетворяет этим условиям. Значит, плоскости $\alpha_1$ и $\alpha$ совпадают: $\alpha_1 = \alpha$.

Аналогичные рассуждения проведем для плоскости $\beta_1$. Она содержит прямую $b$. Так как $\alpha_1 \parallel \beta_1$ и $a \subset \alpha_1$, то $a \parallel \beta_1$. Значит, $\beta_1$ – это плоскость, которая проходит через прямую $b$ и параллельна скрещивающейся с ней прямой $a$. Такая плоскость также единственна. Построенная нами плоскость $\beta$ удовлетворяет этим же условиям. Следовательно, $\beta_1 = \beta$.

Поскольку $\alpha_1 = \alpha$ и $\beta_1 = \beta$, то пара плоскостей $(\alpha_1, \beta_1)$ является той же самой парой $(\alpha, \beta)$. Это доказывает единственность искомой пары плоскостей.

Таким образом, мы показали, что существует и притом только одна пара параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну из двух данных скрещивающихся прямых.

Ответ: Утверждение доказано.