Номер 1.69, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.69. Прямая $a$ пересекает параллельные между собой плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ в точках $A$, $B$ и $C$ соответственно. Покажите, что отношение $AB : BC$ не зависит от выбора прямой $a$.

Доказательство.

Пусть даны три параллельные плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ ($\alpha \parallel \beta \parallel \gamma$).

Пусть произвольная прямая $a$ пересекает эти плоскости в точках $A \in \alpha$, $B \in \beta$, $C \in \gamma$ соответственно.

Возьмем другую произвольную прямую $a'$, которая пересекает те же плоскости в точках $A' \in \alpha$, $B' \in \beta$, $C' \in \gamma$ соответственно.

Нам необходимо доказать, что отношение длин отрезков, отсекаемых на прямой $a$, равно отношению длин соответствующих отрезков на прямой $a'$, то есть:

$AB : BC = A'B' : B'C'$

Для доказательства используем вспомогательное построение. Проведем через точку $A$ прямой $a$ прямую $a''$, параллельную прямой $a'$ ($a'' \parallel a'$). Прямая $a''$ пересечет плоскости $\beta$ и $\gamma$ в некоторых точках $B''$ и $C''$ соответственно.

Доказательство состоит из двух шагов.

1. Докажем, что $AB : BC = AB'' : B''C''$.

Прямые $a$ и $a''$ пересекаются в точке $A$, следовательно, они задают единственную плоскость, назовем ее $\delta$.

Поскольку плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ параллельны, плоскость $\delta$ пересекает их по параллельным прямым. Прямая пересечения $\delta$ с плоскостью $\beta$ проходит через точки $B$ и $B''$ (это прямая $BB''$). Прямая пересечения $\delta$ с плоскостью $\gamma$ проходит через точки $C$ и $C''$ (это прямая $CC''$). Таким образом, $BB'' \parallel CC''$.

В плоскости $\delta$ мы имеем угол с вершиной в точке $A$ (образованный прямыми $a$ и $a''$), стороны которого пересечены параллельными прямыми $BB''$ и $CC''$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{AB''}{B''C''} $

Это также можно доказать из подобия треугольников $\triangle ABB''$ и $\triangle ACC''$. Они подобны по двум углам: $\angle B''AC''$ — общий, а $\angle ABB'' = \angle ACC''$ как соответственные углы при параллельных прямых $BB''$, $CC''$ и секущей $AC$.

2. Докажем, что $AB'' : B''C'' = A'B' : B'C'$.

По построению прямые $a'$ и $a''$ параллельны. Рассмотрим плоскость, которую они задают. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым $A'A$ и $B'B''$.

Четырехугольник $A'ABB''$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны: $A'B' \parallel AB''$ (так как $a' \parallel a''$) и $A'A \parallel B'B''$ (как линии пересечения параллельных плоскостей). Из свойства параллелограмма следует равенство противоположных сторон: $A'B' = AB''$.

Аналогично, четырехугольник $B'B''C''C'$ является параллелограммом, так как $B'C' \parallel B''C''$ и $B'B'' \parallel C'C''$. Следовательно, $B'C' = B''C''$.

Из этих двух равенств следует, что:

$ \frac{A'B'}{B'C'} = \frac{AB''}{B''C''} $

Заключение

Объединяя результаты шагов 1 и 2, получаем:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{AB''}{B''C''} \quad \text{и} \quad \frac{A'B'}{B'C'} = \frac{AB''}{B''C''} $

Отсюда следует, что:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} $

Поскольку прямая $a'$ была выбрана произвольно, мы доказали, что отношение $AB : BC$ не зависит от выбора прямой, пересекающей плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение отрезков, отсекаемых на прямой параллельными плоскостями, является постоянным и не зависит от выбора самой прямой.