Номер 1.72, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.72. Даны плоскости $\alpha$, $\beta$ и прямые $a, b$ такие, что $\alpha \parallel \beta$, $\alpha \cap a = A$, $\beta \cap a = B$, $\alpha \cap b = C$, $\beta \cap b = D$. Точки $K$ и $N$ принадлежат прямым $a$ и $b$ соответственно, причем $AK : KB = CN : ND$. Докажите, что $KN \parallel \beta$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем радиус-векторы для всех заданных точек. Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{k}, \vec{n}$ — радиус-векторы точек $A, B, C, D, K, N$ соответственно.

Из условия задачи известно, что точки K и N принадлежат прямым $a$ и $b$ соответственно, причем выполняется соотношение $AK : KB = CN : ND$. Обозначим это отношение как $\lambda$, то есть:

$ \frac{AK}{KB} = \frac{CN}{ND} = \lambda $

где $\lambda$ — некоторое неотрицательное число.

Это означает, что точка K делит отрезок AB в отношении $\lambda:1$. Ее радиус-вектор $\vec{k}$ можно выразить через радиус-векторы точек A и B:

$ \vec{k} = \frac{1 \cdot \vec{a} + \lambda \cdot \vec{b}}{1+\lambda} $

Аналогично, точка N делит отрезок CD в отношении $\lambda:1$. Ее радиус-вектор $\vec{n}$ выражается через радиус-векторы точек C и D:

$ \vec{n} = \frac{1 \cdot \vec{c} + \lambda \cdot \vec{d}}{1+\lambda} $

Теперь найдем вектор $\vec{KN}$, который соединяет точки K и N:

$ \vec{KN} = \vec{n} - \vec{k} = \left(\frac{\vec{c} + \lambda\vec{d}}{1+\lambda}\right) - \left(\frac{\vec{a} + \lambda\vec{b}}{1+\lambda}\right) = \frac{(\vec{c} - \vec{a}) + \lambda(\vec{d} - \vec{b})}{1+\lambda} $

Учитывая, что $\vec{c} - \vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{d} - \vec{b} = \vec{BD}$, получаем:

$ \vec{KN} = \frac{1}{1+\lambda}\vec{AC} + \frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{BD} $

Проанализируем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

1. Точки A и C по условию лежат в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha, C \in \alpha$). Следовательно, вектор $\vec{AC}$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. Точки B и D по условию лежат в плоскости $\beta$ ($B \in \beta, D \in \beta$). Следовательно, вектор $\vec{BD}$ лежит в плоскости $\beta$.

По условию задачи плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($α \parallel β$).

Из параллельности плоскостей следует, что любой вектор, лежащий в плоскости $\alpha$, параллелен плоскости $\beta$. Таким образом, вектор $\vec{AC}$ параллелен плоскости $\beta$. Вектор $\vec{BD}$, лежащий в плоскости $\beta$, также параллелен ей.

Вектор $\vec{KN}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Поскольку оба этих вектора параллельны плоскости $\beta$, их линейная комбинация также будет вектором, параллельным плоскости $\beta$.

Более строго, пусть $\vec{n_{\beta}}$ — вектор нормали к плоскости $\beta$. Тогда для любого вектора $\vec{v}$, параллельного $\beta$, выполняется условие $\vec{v} \cdot \vec{n_{\beta}} = 0$.

Так как $\vec{AC} \parallel \beta$, то $\vec{AC} \cdot \vec{n_{\beta}} = 0$.

Так как $\vec{BD}$ лежит в $\beta$ (а значит $\vec{BD} \parallel \beta$), то $\vec{BD} \cdot \vec{n_{\beta}} = 0$.

Найдем скалярное произведение вектора $\vec{KN}$ и нормали $\vec{n_{\beta}}$:

$ \vec{KN} \cdot \vec{n_{\beta}} = \left(\frac{1}{1+\lambda}\vec{AC} + \frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{BD}\right) \cdot \vec{n_{\beta}} = \frac{1}{1+\lambda}(\vec{AC} \cdot \vec{n_{\beta}}) + \frac{\lambda}{1+\lambda}(\vec{BD} \cdot \vec{n_{\beta}}) = \frac{1}{1+\lambda} \cdot 0 + \frac{\lambda}{1+\lambda} \cdot 0 = 0 $

Так как скалярное произведение вектора $\vec{KN}$ и вектора нормали к плоскости $\beta$ равно нулю, то вектор $\vec{KN}$ перпендикулярен нормали, а значит, прямая $KN$ параллельна плоскости $\beta$.

При этом прямая $KN$ не лежит в плоскости $\beta$, поскольку точки K и N (за исключением вырожденных случаев $K=B$ и $N=D$) не принадлежат плоскости $\beta$.

Таким образом, доказано, что $KN \parallel \beta$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $KN$ параллельна плоскости $\beta$.