Номер 1.71, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, причем $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$. Можно ли утверждать, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны?

Нет, утверждать, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, в общем случае нельзя. Для доказательства этого достаточно привести контрпример.

Рассмотрим условия задачи:
1. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны ($\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$). Это означает, что их соответствующие стороны равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.
2. Прямые, соединяющие соответствующие вершины, параллельны: $AA_1 \| BB_1 \| CC_1$.

Возможны два основных сценария, удовлетворяющих этим условиям.

Случай 1: Параллельный перенос.
Если отрезки, соединяющие соответствующие вершины, не только параллельны, но и равны по длине ($AA_1 = BB_1 = CC_1$), то треугольник $A_1B_1C_1$ является результатом параллельного переноса треугольника $ABC$ на вектор $\vec{v} = \vec{AA_1}$. В этом случае четырехугольники $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$ и $CC_1A_1A$ являются параллелограммами. Из этого следует, что $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$ и $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.
В этом случае плоскость $A_1B_1C_1$ будет параллельна плоскости $ABC$. Фигура $ABCA_1B_1C_1$ представляет собой треугольную призму, основаниями которой являются данные треугольники.

Случай 2: Построение контрпримера.
Однако в условии задачи не сказано, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ равны. Это позволяет построить ситуацию, когда плоскости не будут параллельны.

Введем декартову систему координат. Пусть плоскость треугольника $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ ($z=0$). Выберем координаты вершин:
$A(0, 0, 0)$
$B(1, 0, 0)$
$C(0, 1, 0)$
В этом случае длины сторон треугольника $ABC$ равны: $AB=1$, $AC=1$, $BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

Пусть параллельные прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ имеют направляющий вектор $\vec{d}=(1, 0, 1)$. Этот вектор не перпендикулярен плоскости $ABC$ (так как его $z$-координата не равна нулю, а $x$-координата также не равна нулю).

Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на этих прямых, поэтому их координаты можно записать как:
$\vec{A_1} = \vec{A} + k_A\vec{d}$
$\vec{B_1} = \vec{B} + k_B\vec{d}$
$\vec{C_1} = \vec{C} + k_C\vec{d}$
где $k_A, k_B, k_C$ — некоторые действительные числа.

Найдем векторы сторон треугольника $A_1B_1C_1$:
$\vec{A_1B_1} = \vec{B_1} - \vec{A_1} = (\vec{B} + k_B\vec{d}) - (\vec{A} + k_A\vec{d}) = \vec{AB} + (k_B-k_A)\vec{d}$.
Из условия равенства длин сторон $A_1B_1^2 = AB^2$:
$|\vec{AB} + (k_B-k_A)\vec{d}|^2 = |\vec{AB}|^2$
$|\vec{AB}|^2 + 2(k_B-k_A)(\vec{AB}\cdot\vec{d}) + (k_B-k_A)^2|\vec{d}|^2 = |\vec{AB}|^2$
$(k_B-k_A) \cdot [2(\vec{AB}\cdot\vec{d}) + (k_B-k_A)|\vec{d}|^2] = 0$.

Это уравнение имеет два решения:
1) $k_B-k_A=0$, то есть $k_A=k_B$. В этом случае $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$.
2) $k_B-k_A = -2\frac{\vec{AB}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}$. В этом случае вектор $\vec{A_1B_1}$ является результатом отражения вектора $\vec{AB}$ относительно плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{d}$.

Выберем для всех сторон второй вариант.
В нашем примере: $\vec{d}=(1,0,1)$, $|\vec{d}|^2=1^2+0^2+1^2=2$.
$\vec{AB}=(1,0,0)$, $\vec{AC}=(0,1,0)$.
Плоскость $ABC$ определяется векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Ее нормальный вектор:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (1,0,0) \times (0,1,0) = (0,0,1)$.

Найдем векторы, определяющие плоскость $A_1B_1C_1$, используя формулу отражения:
$\vec{A_1B_1} = \vec{AB} - 2\frac{\vec{AB}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\vec{d} = (1,0,0) - 2\frac{(1,0,0)\cdot(1,0,1)}{2}(1,0,1) = (1,0,0) - 1\cdot(1,0,1) = (0,0,-1)$.
$\vec{A_1C_1} = \vec{AC} - 2\frac{\vec{AC}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\vec{d} = (0,1,0) - 2\frac{(0,1,0)\cdot(1,0,1)}{2}(1,0,1) = (0,1,0) - 0\cdot(1,0,1) = (0,1,0)$.

Плоскость $A_1B_1C_1$ определяется векторами $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1C_1}$. Ее нормальный вектор:
$\vec{n_1} = \vec{A_1B_1} \times \vec{A_1C_1} = (0,0,-1) \times (0,1,0) = (1,0,0)$.

Сравним нормальные векторы двух плоскостей: $\vec{n}=(0,0,1)$ и $\vec{n_1}=(1,0,0)$. Эти векторы не коллинеарны, следовательно, плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ не параллельны.
При этом все условия задачи выполнены: треугольники равны (так как операция отражения сохраняет длины векторов), и прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ параллельны (по построению).

Ответ: Нет, утверждать, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, нельзя.