Номер 2.4, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.4. Найдите высоту дерева, если:

1) $a=3$ м, $\alpha=60^\circ$;

2) $a=5,7$ м, $\alpha=45^\circ$;

3) $a=8$ м, $\alpha=30^\circ$ (рис. 2.13).

Рис. 2.13

На рисунке изображена схема, которую можно представить в виде прямоугольного треугольника. Обозначим искомую высоту дерева (вертикальный катет) как $h$. Горизонтальный катет — это заданное расстояние $a$, а $\alpha$ — угол при основании, противолежащий катету $h$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{a}$

Из этой формулы выразим высоту дерева $h$:

$h = a \cdot \tan(\alpha)$

Теперь, используя эту формулу, решим задачу для каждого из трех случаев.

1)

Даны значения: $a = 3$ м, $\alpha = 60^{\circ}$.

Подставим эти значения в нашу формулу:

$h = 3 \cdot \tan(60^{\circ})$

Мы знаем, что тангенс $60^{\circ}$ является табличным значением: $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.

Следовательно, высота дерева равна:

$h = 3\sqrt{3}$ м.

При необходимости можно вычислить приближенное значение: $h \approx 3 \cdot 1.732 = 5.196$ м.

Ответ: $h = 3\sqrt{3}$ м.

2)

Даны значения: $a = 5,7$ м, $\alpha = 45^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$h = 5,7 \cdot \tan(45^{\circ})$

Тангенс $45^{\circ}$ также является табличным значением: $\tan(45^{\circ}) = 1$.

Следовательно, высота дерева равна:

$h = 5,7 \cdot 1 = 5,7$ м.

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как один из острых углов равен $45^{\circ}$, а значит и второй острый угол тоже равен $45^{\circ}$. Поэтому катеты $h$ и $a$ равны.

Ответ: $h = 5,7$ м.

3)

Даны значения: $a = 8$ м, $\alpha = 30^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу:

$h = 8 \cdot \tan(30^{\circ})$

Тангенс $30^{\circ}$ — это табличное значение: $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, высота дерева равна:

$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ м.

Приближенное значение высоты: $h \approx \frac{8 \cdot 1.732}{3} \approx 4.619$ м.

Ответ: $h = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ м.