Номер 2.5, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.5. Отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ попарно перпендикулярны между собой. Найдите

$AB$, $AC$ и $BC$, если:

1) $AO=4$ см, $BO=3$ см, $CO=3$ см;

2) $AO=5$ см, $BO=12$ см, $CO=16$ см.

Поскольку отрезки AO, BO и CO попарно перпендикулярны, это означает, что $AO \perp BO$, $AO \perp CO$ и $BO \perp CO$. Эти отрезки можно рассматривать как ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины O. Таким образом, у нас образуются три прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$, у которых прямой угол находится в общей вершине O. Отрезки AB, AC и BC являются гипотенузами этих треугольников.

Для нахождения длин гипотенуз AB, AC и BC воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

1) Дано: $AO = 4$ см, $BO = 3$ см, $CO = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ катеты $AO = 4$ см и $BO = 3$ см. Найдем гипотенузу AB:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ катеты $AO = 4$ см и $CO = 3$ см. Найдем гипотенузу AC:

$AC = \sqrt{AO^2 + CO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$ катеты $BO = 3$ см и $CO = 3$ см. Найдем гипотенузу BC:

$BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $AB = 5$ см, $AC = 5$ см, $BC = 3\sqrt{2}$ см.

2) Дано: $AO = 5$ см, $BO = 12$ см, $CO = 16$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ катеты $AO = 5$ см и $BO = 12$ см. Найдем гипотенузу AB:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ катеты $AO = 5$ см и $CO = 16$ см. Найдем гипотенузу AC:

$AC = \sqrt{AO^2 + CO^2} = \sqrt{5^2 + 16^2} = \sqrt{25 + 256} = \sqrt{281}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$ катеты $BO = 12$ см и $CO = 16$ см. Найдем гипотенузу BC:

$BC = \sqrt{BO^2 + CO^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: $AB = 13$ см, $AC = \sqrt{281}$ см, $BC = 20$ см.