Номер 2.10, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.10. Даны прямые $a$, $b$ и $c$ такие, что $a \perp b$ и $c \perp b$. Можно ли утверждать, что $a \parallel c$? Почему? Не противоречит ли это следующему утверждению из планиметрии: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой»?

Можно ли утверждать, что $a \parallel c$? Почему?

Нет, в общем случае утверждать, что прямые $a$ и $c$ параллельны, нельзя. Данное условие ($a \perp b$ и $c \perp b$) относится к стереометрии (геометрии в трехмерном пространстве), где взаимное расположение прямых $a$ и $c$ может быть разным.

В пространстве две прямые ($a$ и $c$), перпендикулярные третьей прямой ($b$), могут быть:

1. Параллельными. Это возможно, например, если все три прямые лежат в одной плоскости.

2. Пересекающимися. Это происходит, если прямые $a$ и $c$ проходят через одну и ту же точку на прямой $b$.

3. Скрещивающимися. Это случай, когда прямые $a$ и $c$ лежат в параллельных плоскостях, перпендикулярных прямой $b$.

Поскольку существуют случаи, когда прямые $a$ и $c$ не параллельны, мы не можем утверждать, что $a \parallel c$ является единственно возможным вариантом. Для наглядности рассмотрим пример пересекающихся прямых в трехмерной системе координат.

На рисунке показаны три прямые $a, b, c$. Прямая $a$ и прямая $c$ перпендикулярны прямой $b$ ($a \perp b$ и $c \perp b$), но при этом они не параллельны, а пересекаются в одной точке.

Ответ: Нет, утверждать, что $a \parallel c$, нельзя, так как в пространстве эти прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Не противоречит ли это следующему утверждению из планиметрии: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой»?

Нет, это не противоречит утверждению из планиметрии. Ключевое различие заключается в том, что утверждение «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой» является теоремой планиметрии, то есть оно справедливо только для фигур, лежащих в одной плоскости (копланарных).

Исходная задача рассматривается в стереометрии (в пространстве), где прямые $a, b$ и $c$ не обязательно лежат в одной плоскости. Таким образом, условия задачи и условия планиметрической теоремы различны. Теорема, верная для плоскости, не обязана быть верной для пространства. Противоречия нет, так как утверждения относятся к разным разделам геометрии с разными исходными допущениями.

Ответ: Нет, не противоречит, так как утверждение из планиметрии верно только для прямых, лежащих в одной плоскости, а в данной задаче прямые рассматриваются в пространстве и могут не лежать в одной плоскости.