Номер 2.7, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.7. Известно, что $AB \perp \alpha$, $CD \perp \alpha$, $B \in \alpha$, $D \in \alpha$. Сколько плоскостей можно провести через данные четыре точки? Почему?

Согласно условию задачи, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($AB \perp \alpha$) и прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($CD \perp \alpha$). Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha, D \in \alpha$).

Из теоремы стереометрии известно, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу. Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ параллельны: $AB \parallel CD$.

Дальнейшее решение зависит от взаимного расположения этих параллельных прямых. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Прямые AB и CD различны.

Это означает, что точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через две различные параллельные прямые ($AB$ и $CD$) можно провести плоскость, и притом только одну. Эта плоскость будет содержать обе прямые, а значит, и все четыре точки A, B, C и D. На рисунке выше эта плоскость показана оранжевым цветом. Таким образом, если прямые $AB$ и $CD$ не совпадают, то через четыре данные точки можно провести ровно одну плоскость.

Случай 2: Прямые AB и CD совпадают.

Этот случай является вырожденным. Он возможен, если точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет содержать все четыре точки A, B, C и D. Следовательно, если все четыре точки лежат на одной прямой, через них можно провести бесконечно много плоскостей.

Вывод:

Формулировка задачи, в которой упоминаются два отрезка $AB$ и $CD$, обычно предполагает, что они различны и не лежат на одной прямой. Поэтому наиболее вероятным и стандартным решением является первый случай.

Ответ: Возможны два варианта. 1) Если данные четыре точки не лежат на одной прямой, то через них можно провести только одну плоскость. Это следует из того, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны (так как обе перпендикулярны плоскости $\alpha$), а через две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость. 2) Если все четыре точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей, так как через любую прямую проходит бесконечно много плоскостей. В контексте школьной геометрии обычно подразумевается первый, невырожденный случай.