Номер 2.17, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. Какая фигура образуется из множества точек пространства, равноудаленных от концов отрезка $AB$?

Задача состоит в том, чтобы определить геометрическое место точек (ГМТ) в трехмерном пространстве, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек A и B, являющихся концами отрезка AB.

Пусть $M$ — произвольная точка пространства, удовлетворяющая условию равноудаленности от точек A и B. Это означает, что расстояние от $M$ до A равно расстоянию от $M$ до B, то есть $|MA| = |MB|$.

Геометрическое доказательство:

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Поскольку по условию его боковые стороны равны ($|MA| = |MB|$), этот треугольник является равнобедренным с основанием AB. Пусть точка C — середина отрезка AB. В равнобедренном треугольнике $\triangle AMB$ медиана MC, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок MC перпендикулярен отрезку AB, то есть $MC \perp AB$.

Это верно для любой точки M, равноудаленной от A и B. Таким образом, искомое множество точек — это совокупность всех таких точек M, что отрезок, соединяющий точку M с серединой C отрезка AB, перпендикулярен самому отрезку AB. В пространстве множество всех точек, перпендикулярных данной прямой (в нашем случае, прямой AB) и проходящих через фиксированную точку на этой прямой (точку C), образует плоскость.

Следовательно, искомая фигура — это плоскость, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему.

Алгебраическое доказательство:

Для строгого доказательства введем систему координат. Расположим отрезок AB на оси Ox так, чтобы его середина C совпала с началом координат. Пусть длина отрезка AB равна $2a$. Тогда точки A и B будут иметь координаты $A(-a, 0, 0)$ и $B(a, 0, 0)$. Пусть произвольная точка M имеет координаты $(x, y, z)$.

Условие равноудаленности $|MA| = |MB|$ эквивалентно равенству квадратов этих расстояний: $|MA|^2 = |MB|^2$.

Выразим квадраты расстояний через координаты точек:

$|MA|^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = (x + a)^2 + y^2 + z^2$

$|MB|^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$

Приравняем эти выражения:

$(x + a)^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2$

Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения:

$2ax = -2ax$

$4ax = 0$

Поскольку отрезок AB имеет ненулевую длину, $a \neq 0$. Следовательно, должно выполняться равенство $x = 0$.

Уравнение $x=0$ в трехмерной декартовой системе координат задает плоскость YZ. В нашей системе координат эта плоскость проходит через начало координат (то есть через середину C отрезка AB) и перпендикулярна оси Ox (то есть прямой, содержащей отрезок AB).

Таким образом, оба метода приводят к одному и тому же выводу.

На рисунке показана плоскость $\alpha$, которая является искомым множеством точек. Каждая точка $M$, лежащая в этой плоскости, равноудалена от точек A и B ($|MA| = |MB|$). Плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину C.

Ответ: Плоскость, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через его середину.