Номер 2.23, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23. Какой пространственной фигурой будет геометрическое место точек, расположенных на одинаковом расстоянии от всех вершин:

1) равносторонним треугольником;

2) квадратом?

1) равносторонним треугольником

Геометрическое место точек (ГМТ) в пространстве, равноудаленных от двух заданных точек (например, вершин $A$ и $B$ треугольника), представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему эти точки ($AB$), и проходящую через его середину. Такую плоскость называют серединной перпендикулярной плоскостью к отрезку.

Чтобы найти ГМТ, равноудаленное от всех трех вершин равностороннего треугольника $ABC$, необходимо найти пересечение трех таких плоскостей: серединной перпендикулярной плоскости к $AB$, серединной перпендикулярной плоскости к $BC$ и серединной перпендикулярной плоскости к $CA$.

В плоскости самого треугольника точка, равноудаленная от всех его вершин, — это центр описанной окружности. Для равностороннего треугольника эта точка (обозначим ее $O$) также является центром вписанной окружности, ортоцентром и центром масс. Эта точка $O$ по определению принадлежит всем трем серединным перпендикулярным плоскостям.

Пересечение этих трех плоскостей представляет собой прямую линию. Эта прямая проходит через центр описанной окружности $O$ и перпендикулярна плоскости, в которой лежит треугольник.

Таким образом, искомой пространственной фигурой является прямая.

Ответ: Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника и перпендикулярная его плоскости.

2) квадратом

Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Пусть дан квадрат $ABCD$. Мы ищем геометрическое место точек $M$ в пространстве, для которых $MA = MB = MC = MD$.

Это ГМТ является пересечением серединных перпендикулярных плоскостей к отрезкам, соединяющим вершины, например, к сторонам $AB$ и $BC$, или к диагоналям $AC$ и $BD$.

В плоскости квадрата точка, равноудаленная от всех его вершин, — это центр квадрата (точка пересечения диагоналей), который является центром его описанной окружности. Обозначим эту точку $O$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех вершин, она принадлежит искомому ГМТ. Все ГМТ является пересечением серединных перпендикулярных плоскостей к сторонам квадрата. Это пересечение — прямая, которая проходит через точку $O$ и перпендикулярна плоскости квадрата.

Таким образом, искомой пространственной фигурой также является прямая.

Ответ: Прямая, проходящая через центр квадрата (точку пересечения диагоналей) и перпендикулярная его плоскости.