Номер 2.28, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.28. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом, основанным на свойствах параллельных плоскостей и определении перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$) и прямая $a$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а плоскость $\beta$ в точке $B$. Необходимо доказать, что прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Доказательство:

1. Согласно определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что $a \perp \beta$, нам нужно показать, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через точку пересечения $B$.

2. Выберем в плоскости $\beta$ произвольную прямую $b$, проходящую через точку $B$.

3. Через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ можно провести единственную плоскость. Назовем ее $\gamma$.

4. Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ (поскольку содержит прямую $a$, которая пересекает $\alpha$). Линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$ будет некоторая прямая $c$. Так как точка $A$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\gamma$ (поскольку $A$ лежит на прямой $a$), то точка $A$ лежит на прямой $c$.

5. По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость ($\gamma$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$), то линии их пересечения ($c$ и $b$) параллельны. Таким образом, $c \parallel b$.

6. По условию, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Это означает, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. В частности, прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$, так как $c$ лежит в $\alpha$. Следовательно, $a \perp c$.

7. Теперь у нас есть следующие факты: $a \perp c$ и $c \parallel b$. Согласно теореме (лемме) о том, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй, мы можем заключить, что $a \perp b$.

8. Поскольку прямая $b$ была выбрана в плоскости $\beta$ произвольно, это означает, что прямая $a$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через точку $B$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, это означает, что $a \perp \beta$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.