Номер 2.32, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.32. Найдите расстояние от плоскости $\alpha$ до середины отрезка, один конец которого расположен в плоскости $\alpha$, а второй – на расстоянии 4 см от этой плоскости.

Пусть дан отрезок $AB$, середина которого — точка $M$. Пусть также дана плоскость $\alpha$.

По условию задачи, один конец отрезка, например точка $A$, расположен в плоскости $\alpha$. Расстояние от точки до плоскости, в которой она лежит, равно нулю. Обозначим расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ как $h_A$. Таким образом, $h_A = 0$ см.

Второй конец отрезка, точка $B$, находится на расстоянии 4 см от плоскости $\alpha$. Обозначим это расстояние как $h_B$. Таким образом, $h_B = 4$ см.

Требуется найти расстояние от середины отрезка, точки $M$, до плоскости $\alpha$. Обозначим это расстояние как $h_M$.

Расстояние от середины отрезка до плоскости равно среднему арифметическому расстояний от его концов до этой же плоскости. Это можно доказать, рассмотрев проекции точек $A$, $B$, $M$ на плоскость $\alpha$. Пусть $A'$, $B'$, $M'$ — ортогональные проекции точек $A$, $B$, $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезки $AA'$, $BB'$, $MM'$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ и, следовательно, параллельны друг другу. Фигура $A'B'BA$ (в общем случае) является трапецией, а отрезок $MM'$ — её средней линией. Так как точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, её проекция $A'$ совпадает с $A$, и длина $AA'$ равна 0. В этом случае трапеция вырождается в треугольник $\triangle AB'B$, а $MM'$ является его средней линией.

Для наглядности представим ситуацию на рисунке:

Формула для нахождения расстояния от середины отрезка до плоскости выглядит так:

$h_M = \frac{h_A + h_B}{2}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$h_M = \frac{0 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$

Таким образом, расстояние от плоскости $\alpha$ до середины отрезка составляет 2 см.

Ответ: 2 см.