Номер 2.39, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.39. К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр AK. Найдите расстояние от точки K до прямых AB, BC и BD, если $AB = 3 \text{ см}$, $AK = 4 \text{ см}$ (рис. 2.24).

Рис. 2.24

По условию задачи, $ABCD$ — квадрат со стороной $AB = 3$ см. К плоскости квадрата проведен перпендикуляр $AK$ длиной $AK = 4$ см. Это означает, что $AK \perp (ABCD)$ и, следовательно, $AK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Так как $AK \perp (ABCD)$, а прямая $AB$ лежит в этой плоскости, то по определению перпендикуляра к плоскости $AK \perp AB$. Следовательно, длина отрезка $AK$ и является искомым расстоянием.
Ответ: 4 см.

Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $AK$ к плоскости $(ABCD)$ и наклонная $KB$ к прямой $BC$. Проекцией наклонной $KB$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $AB$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, то его смежные стороны перпендикулярны: $AB \perp BC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($KB$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $KB \perp BC$, и длина отрезка $KB$ является расстоянием от точки $K$ до прямой $BC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $KAB$ ($\angle KAB = 90^\circ$, так как $AK \perp AB$). По теореме Пифагора:
$KB = \sqrt{AK^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: 5 см.

Снова применим теорему о трёх перпендикулярах. Расстоянием от точки $K$ до прямой $BD$ будет длина перпендикуляра, опущенного из $K$ на $BD$. Обозначим его $KH$. Проекцией наклонной $KH$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $AH$. По теореме о трёх перпендикулярах, из $KH \perp BD$ следует, что $AH \perp BD$. В плоскости квадрата перпендикуляром, опущенным из вершины $A$ на диагональ $BD$, является отрезок $AO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей. Значит, точка $H$ совпадает с точкой $O$, и искомое расстояние — это длина отрезка $KO$.
Сначала найдём длину $AO$. Диагональ квадрата $AC$ по теореме Пифагора в $\triangle ABC$ равна $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см. Диагонали в квадрате точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KAO$ ($\angle KAO = 90^\circ$, так как $AK \perp AO$). По теореме Пифагора:
$KO = \sqrt{AK^2 + AO^2} = \sqrt{4^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{9 \cdot 2}{4}} = \sqrt{16 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{32+9}{2}} = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{82}}{2}$ см.