Номер 2.40, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.40. Концы отрезка $AB$ удалены от плоскости $\alpha$ на расстояния, равные 1 см и 5 см соответственно. Найдите расстояние от середины отрезка $AB$ до плоскости $\alpha$, если:

1) отрезок $AB$ не пересекается с плоскостью $\alpha$;

2) отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$.

1) отрезок AB не пересекается с плоскостью α;

Пусть $AA'$ и $BB'$ — перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда длины этих перпендикуляров равны заданным расстояниям: $AA' = 1$ см и $BB' = 5$ см. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$, а $M'$ — ее проекция на плоскость $\alpha$. Требуется найти длину отрезка $MM'$.

Поскольку отрезок $AB$ не пересекает плоскость $\alpha$, точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от нее. Рассмотрим сечение, проходящее через точки $A$ и $B$ и перпендикулярное плоскости $\alpha$. В этом сечении фигура $A'B'BA$ является прямоугольной трапецией с основаниями $AA'$ и $BB'$, параллельными друг другу. Отрезок $MM'$ является средней линией этой трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ вычисляется по формуле:$MM' = \frac{AA' + BB'}{2}$

Подставим известные значения:$MM' = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

2) отрезок AB пересекает плоскость α.

В этом случае точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$. Расстояния от точек до плоскости по-прежнему равны $AA' = 1$ см и $BB' = 5$ см.

Для решения этой задачи удобно использовать понятие направленных (или "знаковых") расстояний. Если принять плоскость $\alpha$ за нулевой уровень, то расстояния до точек, лежащих по разные стороны от нее, будут иметь разные знаки. Пусть расстояние до точки $A$ равно $d_A = 1$ см, тогда расстояние до точки $B$, лежащей с другой стороны, будет $d_B = -5$ см.

Расстояние от середины отрезка $M$ до плоскости, $d_M$, является средним арифметическим знаковых расстояний от его концов:

$d_M = \frac{d_A + d_B}{2}$

Искомое расстояние — это абсолютное значение (модуль) этой величины. Подставим значения:$d_M = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ см.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $|d_M|$:$|d_M| = |-2| = 2$ см.

Ответ: 2 см.